3 equazioni in 3 incognite
ciao, ho questo tipo di problema.
trovare con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,i punti di max e min assoluto della funzione
$f(x;y) = (x-2)^2$
sull' insieme
S= $ {(x,y)in R^2| x^2 /4 + y^2 /3=1 } $
sviluppandolo mi trovo questo sistema
$2x-4y=zx/2$
$8y-4x=2/3 zy$
$x^2 /4+y^2 /4 -1=0$
per risolvere questo sistema c'è un modo particolare o devo andare per sostituzone? per sostituzione è un bel po' incasinatello
trovare con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,i punti di max e min assoluto della funzione
$f(x;y) = (x-2)^2$
sull' insieme
S= $ {(x,y)in R^2| x^2 /4 + y^2 /3=1 } $
sviluppandolo mi trovo questo sistema
$2x-4y=zx/2$
$8y-4x=2/3 zy$
$x^2 /4+y^2 /4 -1=0$
per risolvere questo sistema c'è un modo particolare o devo andare per sostituzone? per sostituzione è un bel po' incasinatello
Risposte
potresti moltiplicare per 2 la prima equazione e sommarvicisi (?) la seconda
non credo che concludo molto...anche perche' sono diversi i segni...
"enzo818":
non credo che concludo molto...anche perche' sono diversi i segni...
appunto...
devi sostituire le incognite una alla volta sino ad avere un'equazione in una sola incognita e quindi risolvere l'equazione
Il problema si risolve facilmente per via grafica con il metodo delle curve di livello.
La funzione [tex]$f(x,y):=(x-2)^2$[/tex] ha curve di livello che sono coppie di rette parallele all'asse [tex]$y$[/tex] e simmetriche rispetto alla retta d'equazione [tex]$x=2$[/tex]: infatti, fissato [tex]$k\geq 0$[/tex], si ha [tex]$f(x,y)=k$[/tex] se e solo se [tex]$x-2=\pm \sqrt{k}$[/tex], cioè [tex]$x=2\pm \sqrt{k}$[/tex].
All'aumentare di [tex]$k$[/tex] (cioè all'aumentare del valore assunto da [tex]$f(x,y)$[/tex]) le due rette tendono ad allontanarsi dal loro asse di simmetria, muovendosi l'una nel verso negativo e l'altra nel verso positivo dell'asse reale; in figura, sono rappresentate alcune linee di livello (il cui colore diventa più scuro man mano che [tex]$k$[/tex] aumenta) e le frecce nere indicano le direzioni in cui tali linee si spostano.
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=3;
axes("");
stroke="red"; line([2,-4],[2,4]);
stroke="cyan"; line([1,-4], [1,4]); line([3,-4],[3,4]);
stroke="dodgerblue"; line([-0.5,-4],[-0.5,4]); line([4.5,-4],[4.5,4]);
stroke="blue"; line([-2,-4],[-2,4]); line([6,-4],[6,4]);
stroke="purple"; line([-3,-4],[-3,4]); line([7,-4],[7,4]);
stroke="pink"; marker="arrow"; line([2,-3],[-3.2,-3]); line([2,-3],[7.2,-3]); dot([2,-3]);[/asvg]
Il vincolo [tex]$S$[/tex] è un'ellisse con centro in [tex]$o=(0,0)$[/tex] e semiassi di lunghezza [tex]$2$[/tex] e [tex]$\sqrt{3}[/tex]$.
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("");
ellipse([0,0],2,1.732);[/asvg]
Mettendo curve di livello e vincolo su uno stesso grafico si ottiene:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("");
ellipse([0,0],2,1.732);
stroke="red"; line([2,-4],[2,4]);
stroke="cyan"; line([1,-4], [1,4]);
stroke="dodgerblue"; line([-0.5,-4],[-0.5,4]);
stroke="blue"; line([-2,-4],[-2,4]);
stroke="purple"; line([-3,-4],[-3,4]);
stroke="pink"; marker="arrow"; line([2,-3],[-3.2,-3]); dot([2,-3]);[/asvg]
e questo si interpreta come segue:
- per [tex]$\sqrt{k}=0$[/tex] ossia [tex]$k=0$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=0$[/tex], che è la retta d'equazione [tex]$x=2$[/tex] (in rosso), interseca il vincolo in [tex]$(2,0)$[/tex] e solo in quel punto; visto che [tex]$0$[/tex] è il valore minimo assunto da [tex]$f(x,y)$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], ne inferiamo che [tex]$(2,0)$[/tex] è il punto di minimo assoluto di [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex];
- per [tex]$0<\sqrt{k}<4$[/tex] ossia [tex]$0
- per [tex]$\sqrt{k}=4$[/tex] ossia [tex]$k=16$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=4$[/tex], che è la retta d'equazione [tex]$x=-2$[/tex] (in blu), interseca il vincolo nel punto [tex]$(-2,0)$[/tex] e solo in quel punto;
- per [tex]$\sqrt{k}\geq 4$[/tex] ossia [tex]$k>16$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (in viola) non interseca più il vincolo; conseguentemente la funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] non assume su [tex]$S$[/tex] valore più grande di [tex]$f(-2,0) =4$[/tex]; quindi [tex]$(-2,0)$[/tex] è punto di massimo assoluto per [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex].
Quindi [tex]$(2,0)$[/tex] e [tex]$(-2,0)$[/tex] sono rispettivamente punti di minimo e di massimo assoluto per [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex] e risulta [tex]$\min_S f=0$[/tex] e [tex]$\max_S f=16$[/tex].
Se uno vuole procedere per via algebrica, bisogna eliminare ad esempio [tex]$z$[/tex] dalle prime due equazioni: per fare ciò basta moltiplicare la prima per [tex]$6y$[/tex], la seconda per [tex]$\tfrac{9}{2}x$[/tex] e poi sottrarre membro a membro.
La funzione [tex]$f(x,y):=(x-2)^2$[/tex] ha curve di livello che sono coppie di rette parallele all'asse [tex]$y$[/tex] e simmetriche rispetto alla retta d'equazione [tex]$x=2$[/tex]: infatti, fissato [tex]$k\geq 0$[/tex], si ha [tex]$f(x,y)=k$[/tex] se e solo se [tex]$x-2=\pm \sqrt{k}$[/tex], cioè [tex]$x=2\pm \sqrt{k}$[/tex].
All'aumentare di [tex]$k$[/tex] (cioè all'aumentare del valore assunto da [tex]$f(x,y)$[/tex]) le due rette tendono ad allontanarsi dal loro asse di simmetria, muovendosi l'una nel verso negativo e l'altra nel verso positivo dell'asse reale; in figura, sono rappresentate alcune linee di livello (il cui colore diventa più scuro man mano che [tex]$k$[/tex] aumenta) e le frecce nere indicano le direzioni in cui tali linee si spostano.
[asvg]xmin=-3; xmax=7; ymin=-3; ymax=3;
axes("");
stroke="red"; line([2,-4],[2,4]);
stroke="cyan"; line([1,-4], [1,4]); line([3,-4],[3,4]);
stroke="dodgerblue"; line([-0.5,-4],[-0.5,4]); line([4.5,-4],[4.5,4]);
stroke="blue"; line([-2,-4],[-2,4]); line([6,-4],[6,4]);
stroke="purple"; line([-3,-4],[-3,4]); line([7,-4],[7,4]);
stroke="pink"; marker="arrow"; line([2,-3],[-3.2,-3]); line([2,-3],[7.2,-3]); dot([2,-3]);[/asvg]
Il vincolo [tex]$S$[/tex] è un'ellisse con centro in [tex]$o=(0,0)$[/tex] e semiassi di lunghezza [tex]$2$[/tex] e [tex]$\sqrt{3}[/tex]$.
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes("");
ellipse([0,0],2,1.732);[/asvg]
Mettendo curve di livello e vincolo su uno stesso grafico si ottiene:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("");
ellipse([0,0],2,1.732);
stroke="red"; line([2,-4],[2,4]);
stroke="cyan"; line([1,-4], [1,4]);
stroke="dodgerblue"; line([-0.5,-4],[-0.5,4]);
stroke="blue"; line([-2,-4],[-2,4]);
stroke="purple"; line([-3,-4],[-3,4]);
stroke="pink"; marker="arrow"; line([2,-3],[-3.2,-3]); dot([2,-3]);[/asvg]
e questo si interpreta come segue:
- per [tex]$\sqrt{k}=0$[/tex] ossia [tex]$k=0$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=0$[/tex], che è la retta d'equazione [tex]$x=2$[/tex] (in rosso), interseca il vincolo in [tex]$(2,0)$[/tex] e solo in quel punto; visto che [tex]$0$[/tex] è il valore minimo assunto da [tex]$f(x,y)$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], ne inferiamo che [tex]$(2,0)$[/tex] è il punto di minimo assoluto di [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex];
- per [tex]$0<\sqrt{k}<4$[/tex] ossia [tex]$0
- per [tex]$\sqrt{k}=4$[/tex] ossia [tex]$k=16$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=4$[/tex], che è la retta d'equazione [tex]$x=-2$[/tex] (in blu), interseca il vincolo nel punto [tex]$(-2,0)$[/tex] e solo in quel punto;
- per [tex]$\sqrt{k}\geq 4$[/tex] ossia [tex]$k>16$[/tex], la linea di livello [tex]$f(x,y)=k$[/tex] (in viola) non interseca più il vincolo; conseguentemente la funzione [tex]$f(x,y)$[/tex] non assume su [tex]$S$[/tex] valore più grande di [tex]$f(-2,0) =4$[/tex]; quindi [tex]$(-2,0)$[/tex] è punto di massimo assoluto per [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex].
Quindi [tex]$(2,0)$[/tex] e [tex]$(-2,0)$[/tex] sono rispettivamente punti di minimo e di massimo assoluto per [tex]$f(x,y)$[/tex] su [tex]$S$[/tex] e risulta [tex]$\min_S f=0$[/tex] e [tex]$\max_S f=16$[/tex].
Se uno vuole procedere per via algebrica, bisogna eliminare ad esempio [tex]$z$[/tex] dalle prime due equazioni: per fare ciò basta moltiplicare la prima per [tex]$6y$[/tex], la seconda per [tex]$\tfrac{9}{2}x$[/tex] e poi sottrarre membro a membro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo