\((2n)!!=\prod_{j=1}^n (2j)\) e successione

[DavideGenova1]

Ciao a tutti, amici e buon Ferragosto! Trovo scritto sul mio libro (M. Lo Cascio, Fondamenti di analisi numerica) che\[\lim_{n\to\infty}\frac{[(2n)!!]^2}{[(2n-1)!!]^2(2n+1)}=\frac{\pi}{2}\]
Qualcuno ha qualche idea di come si possa dimostrare tale convergenza?
Non sempre sul mio testo che \((2n)!!=\prod_{j=1}^n (2j)\) e che \((2n-1)!!=\prod_{j=1}^n (2j-1)\), identità che, forse, potrebbero semplificare i calcoli, ma on riesco a dimostrare neanche queste... C'è qualche pietoso forumista che possa darmi una mano anche a dimostrare queste?
$\infty$ grazie a tutti!!!

[gugo82]

Quella relazione di limite è detta formula di Wallis e si dimostra usando integrali definiti di seni e coseni.
La dimostrazione la trovi in rete, o anche su Fiorenza & Greco, Lezioni di Analisi Matematica, Liguori.

Per quanto riguarda le identità che citi, esse sono le definizioni dei doppi fattoriali.

[DavideGenova1]

Ma che scemo che sono! Pensa che, convinto che \((2n)!!\) fosse lo stesso di \(((2n)!)!\), stavo cominciando a sospettare un errore di stampa, visto che chiaramente, se $n=2$, non è vero che \(24!=8\)... Se non fosse stato per il tuo aiuto mi sarei convinto di un refuso anche dove non c'è...
Proprio bello questo risultato: ne ho trovato una dimostrazione che usa appunto il fatto che $\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n}=(n-1)/n\int_{0}^{\pi/2}\cos^{n-2}$.
$+\infty$ grazie e buona serata/nottata!!!