[26/1/16] [tex]\int_{0}^{\frac{1}{3}}x\arcsin(3x)dx[/tex]

[koloko]

Sto svolgendo l'integrale
[tex]\int_{0}^{\frac{1}{3}}x\arcsin(3x)dx[/tex]
[tex]\int_{0}^{\frac{1}{3}}x\arcsin(3x)dx=[\frac{x^{2}}{2}\arcsin(3x)]_{0}^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{1}{3}}x^{2}d(\arcsin(3x))[/tex]
ora prendo
[tex]\int_{0}^{\frac{1}{3}}x^{2}d(\arcsin(3x))=\int_{0}^{\frac{1}{3}}\frac{3x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}dx[/tex]
e faccio
[tex]t=x^{2}\Rightarrow dt=2xdx\Rightarrow dx=\frac{dt}{2\sqrt{t}}[/tex]
quindi
[tex]\frac{3}{2}\int_{0}^{\frac{1}{9}}\frac{1}{\sqrt{t}\sqrt{1-t}}dt[/tex]
Ho tentato di razionalizzare ma non riesco ad andare da nessuna parte

[Ziben]

Ciao,
innanzi tutto nota che:
$(arcsin(3x))'=3/sqrt(1-9x^2)$.
Poi io ti suggerisco la sostituzione $3x=sint$. Prova se viene meglio.

[koloko]

"Ziben":Poi io ti suggerisco la sostituzione $3x=sint$. Prova se viene meglio.

Purtroppo non so ricondurre una sostituzione del genere ad una forma utilizzabile ai fini dell'esercizio

[Ziben]

Dopo il primo passaggio "per parti" (dopo aver eseguito la derivata di $arcsin(3x)$) ti ritrovi sul "groppone" il seguente integrale:

$\int_0^(1/3) (3x^2)/sqrt(1-9x^2) dx$

Fai la seguente sostituzione $3x=sint$ per cui $9x^2=sin^2t$, $x^2=1/9sin^2t$, $dx=1/3costdt$ e se $x=0$ $t=0$, se $x=1/3$ $t=pi/2$. Allora si ottiene:

$\int_0^(pi/2) (3*1/9sin^2t)/sqrt(1-sin^2t)*1/3costdt$

Non te la prendere, ma mi sa che ne hai di lavoro da fare

[Oiram92]

"Ziben":Non te la prendere, ma mi sa che ne hai di lavoro da fare

no dai che ha già finito la sostituzione che hai proposto è perfetta per il caso in esame. Aggiungo qualche altra semplificazione sotto spoiler. @Caterpillar tu non sbirciare eh prima vedi se riesci da solo

\(\displaystyle \frac{1}{9} \; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^2(t)\;cos(t)}{\sqrt{cos^2(t)}} dt = \frac{1}{9} \;\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(t) dt = \frac{1}{18} \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt - \frac{1}{2}\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2cos(2t) dt \right)\)

[koloko]

"Oiram92":[quote="Ziben"]Non te la prendere, ma mi sa che ne hai di lavoro da fare

no dai che ha già finito la sostituzione che hai proposto è perfetta per il caso in esame. Aggiungo qualche altra semplificazione sotto spoiler. @Caterpillar tu non sbirciare eh prima vedi se riesci da solo

\(\displaystyle \frac{1}{9} \; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin^2(t)\;cos(t)}{\sqrt{cos^2(t)}} dt = \frac{1}{9} \;\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(t) dt = \frac{1}{18} \left(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt - \frac{1}{2}\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2cos(2t) dt \right)\)

[/quote]

A mio avviso una volta arrivati a
[tex]\frac{1}{9}\intop_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}(t)dt[/tex]

conviene antitrasformare e terminare nella seguente maniera
[tex]\frac{1}{9}\intop_{0}^{\frac{1}{2}}9x^{2}dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{24}[/tex]

Che ne pensate?

[Oiram92]

non è possibile perchè non stai "antitrasformando" stai facendo un'ulteriore sostituzione (che adesso indico con la variabile \(\displaystyle y \) per non confonderci). Siamo partiti da :

\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{3}} \frac{3x^2}{\sqrt{1-9x^2}} \;dx \)

poi abbiamo sostituito \(\displaystyle 3x = sin(t) \) e \(\displaystyle dx = \frac{1}{3}\;cos(t)\;dt \) ottenendo :

\(\displaystyle \frac{1}{9}\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^2(t) \; dt\)

adesso, in base a ciò che dici vorresti effettuare una nuova sostituzione con \(\displaystyle sin^2(t) = 9y^2 \) e \(\displaystyle 2\;cos(t)\;sin(t)\;dt = 18 y\;dy \)..ma non è conveniente..è come il cane che si morde la coda..

Invece usa le proprietà trigonometriche per sviluppare il \(\displaystyle sin^2(t) \)! Infatti :

\(\displaystyle sin^2(t) = \frac{1-cos(2t)}{2} \)

quindi :

\(\displaystyle \frac{1}{9}\; \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2} (1-cos(2t)) \; dt = \frac{1}{18} \; \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(2t)) \; dt \right) \)

il primo integrale è immediato, il secondo si risolve con gli integrali notevoli facendo "spuntare" ciò che ci serve. Infatti :

\(\displaystyle \int cos(f(x))\cdot f'(x) \;dx = sin(f(x)) \)

quindi?

[Ziben]

E come avresti fatto? Comunque è sbagliato perché quell'integrale viene $pi/36$

$\int_(0)^(pi/2) sin^2tdt = \int_(0)^(pi/2)sintsintdt$ e prosegui per parti oppure segui lo spoiler di oiram92 se te lo permette

Edit: in ritado, sorry

[koloko]

"Oiram92":Invece usa le proprietà trigonometriche per sviluppare il \(\displaystyle sin^2(t) \)! Infatti :

\(\displaystyle sin^2(t) = \frac{1-cos(2t)}{2} \)

Sono andato a vedere tutte le formule di trigonometria ma non riesco a riprodurre

\(\displaystyle sin^2(t) = \frac{1-cos(2t)}{2} \)

[Oiram92]

"Ziben":oppure segui lo spoiler di oiram92 se te lo permette

"Caterpillar":Sono andato a vedere tutte le formule di trigonometria

mi sa che ti sei perso la formula di duplicazione del coseno, ovvero :

\(\displaystyle cos(2x) = cos^2(x)-sin^2(x) = \left(1-sin^2(x)\right)-sin^2(x) = 1-2\;sin^2(x) \)

da cui :

\(\displaystyle sin^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2} \)

[gugo82]

In realtà c'è un modo più semplice per calcolare l'integrale.
Dato che $0<= x <=1/3$, abbiamo $0<= 3x<=1$ e dunque è lecita la sostituzione $3x = sin t$, con $0<= t <= pi/2$; conseguentemente, l'integrale definito diventa:
\[
\intop_0^{\pi/2} \frac{1}{9}\ \sin t\ t\ \cos t\ \text{d} t = \frac{1}{18}\ \intop_0^{\pi/2} t\ \sin 2t\ \text{d} t
\]
che si calcola per parti.