2 successioni

[mikael2]

Se an e bn; $n in N$; siano due successioni di numeri reali tali che $an >=bn>= 2 $per ogni $n in N$ Allora:
(a) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = 2$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= 2$
(b)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an = 4$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn <= 4$
(c)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an $ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn $
(d) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = +oo$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= +oo$

secondo me la risposta giusta è la c) perchè questa è una successione limitata e quindi ammette limite

[mikael2]

qual è la vostra opinione a riguardo?

[Relegal]

"mikael":Se an e bn; $n in N$; siano due successioni di numeri reali tali che $an >=bn>= 2 $per ogni $n in N$ Allora:
(a) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = 2$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= 2$
(b)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an = 4$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn <= 4$
(c)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an $ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn $
(d) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = +oo$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= +oo$

secondo me la risposta giusta è la c) perchè questa è una successione limitata e quindi ammette limite

L'affermazione: "se una successione è limitata allora ammette limite" è falsa. Pensa infatti alla successione $(-1)^n$. Essa assume solo due valori, $1$ e $-1$; è pertanto limitata ma non ha limite per $n->+oo$.
La risposta esatta è quindi . . .

[Zero87]

Guarda, ci stavo pensando su...

a) secondo me non è sempre vera perché può anche darsi che il limite non ci sia.

b) anche qui, stavo pensando a qualcosa che non ammetta limite tipo l'esempio che ho fatto nella a).

c) stesso ragionamento sopra, il limite è sicuro che esiste se $a_n \to 2$ per il teorema dei carabinieri per il resto c'è sempre la possibilità che $b_n$ oscilli e non ammetta limite.

d) è la prima volta che vedo che $\lim a_n >= +\infty$... Se quello è un uguale è ok per il teorema dei carabinieri... Se invece è un maggiore uguale non so che senso abbia...

PS: ho fatto analisi I più di 3 anni fa e quindi non ti fidare al 100% dei miei ragionamenti in quanto sono abbastanza arrugginito in materia di successioni numeriche e serie...

Ciao

[mikael2]

in questo caso la successione è decrescente giusto? però ora non mi vine proprio in mente quale può essere la risposta giusta, me la potresti spiegare

[Relegal]

"mikael":Se an e bn; $n in N$; siano due successioni di numeri reali tali che $an >=bn>= 2 $per ogni $n in N$ Allora:
(a) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = 2$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= 2$
(b)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an = 4$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn <= 4$
(c)se esiste il $lim_(n -> +oo ) an $ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) bn $
(d) se esiste il $lim_(n -> +oo ) bn = +oo$ allora esiste il $lim_(n -> +oo ) an >= +oo$

secondo me la risposta giusta è la c) perchè questa è una successione limitata e quindi ammette limite

No, non si tratta di monotonia delle successioni.
La a) è da scartare perchè basta considerare una successione $a_n$ che definitivamente oscilli tra due valori maggiori di due.
Nel caso b) consideri una successione $b_n$ che definitivamente oscilli tra due valori compresi tra 2 e 4.
Nella c) non c'è modo di garantire l'esistenza del limite di $b_n$ ed è dunque da scartare.
La d) è la sola vera:
Si ha da provare che $lim_(n -> +oo ) an >= +oo$, cioè $AA M>0 EE n_0 inNN t.c. AAn>n_0 |a_n|>M $ Possiamo tralasciare il modulo perchè le successioni sono positive per ipotesi.
Sia $M>0$. Poichè $lim_(n -> +oo ) bn = +oo$, $EE n_0 t.c. AA n>n_0, b_n>M$.
Si ha così, poichè $a_n>b_n$, la tesi.