2 serie

[Masse1]

$ sum_{n=1}^{oo}{cos2n+1}/sqrt{n^3+1} $


$ sum_{n=1}^{oo}{(-1)^n}/{2n+3}


o imparato a usare math

[Sk_Anonymous]

"Masse":$ sum_{i=1}^{n}{cos2x+1}/sqrt{x^3+1} $


$ sum_{i=1}^{n}{(-1)^x}/{2x+3}


o imparato a usare math

Bene! Adesso perciò potrai anche applicarti all'italiano e alla matematica... E giusto per capire: che relazione corre fra $i, n, x$?! E di quelle somme, poi... che se ne deve fare?

[cavallipurosangue]

In effetti non posso che darti ragione...

[ficus2002]

Bhe è facile:

$ sum_{i=1}^{n}{cos2x+1}/sqrt{x^3+1}=n{cos2x+1}/sqrt{x^3+1}$

$ sum_{i=1}^{n}{(-1)^x}/{2x+3} = n{(-1)^x}/{2x+3}$

[Sk_Anonymous]

Lol! Scusate, mi è scappato... ^^"

[cavallipurosangue]

Non credo proprio che fosse quello che intendeva con quelle serie. Più probabilmente ha scitto x invece di n. Poi non lo so...

[Masse1]

"Masse":$ sum_{n=1}^{oo}{cos2n+1}/sqrt{n^3+1} $


$ sum_{n=1}^{oo}{(-1)^n}/{2n+3}


o imparato a usare math

Scusate per la mia confusione è stata la fretta

vabbe dai naturalmente dire se sono convergenti divergenti o irregolari

[Sk_Anonymous]

"Masse":[Stabilire il carattere della serie] $ sum_{n=1}^{oo}{(-1)^n}/{2n+3}

Converge, per il criteiro di Leibniz.

[Sk_Anonymous]

"Masse":[Stabilire il carattere della serie] $ sum_{n=1}^{oo}{cos2n+1}/sqrt{n^3+1} $

Serie a termini positivi: $0 < cos(2n) + 1 < 2$, per ogni $n \in \mathbb{N}$. Converge, per confronto, poiché dominata dalla serie convergente $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{n^{3/2}}$.

[Masse1]

ti ringrazio immensamente

[ficus2002]

Se consideriamo la funzione $2pi$-periodica

$f(x)=2$ se $0 \leq x $f(x)=0$ se $pi\leq x < 2pi$

allora $f$ è sviluppabile in serie di Fourier e si ha (lascio a voi i conti):

$f(x)=1+4/pi sum _{n=0}^{+infty} {sin (2n+1)x}/{2n+1}$

e, in particolare, per $x=pi/2$:

$f(pi/2)=2=1+4/pi sum _{n=0}^{+infty} {(-1)^n}/{2n+1}$
da cui :
$sum _{n=0}^{+infty} {(-1)^n}/{2n+1}=pi/4$
Quindi:

$sum _{n=1}^{+oo} {(-1)^n}/{2n+3}=1-1/3-(sum _{n=0}^{+infty} {(-1)^n}/{2n+1})$

ossia

$sum _{n=1}^{+oo} {(-1)^n}/{2n+3}=2/3-pi/4$

[carlo232]

"ficus2002":....da cui :
$sum _{n=0}^{+infty} {(-1)^n}/{2n+1}=pi/4$

Carino questo metodo per ricavarsi il volore della serie di Leibniz, forse è un pò più semplice usare lo sviluppo di Maclaurin della funzione $tan^-1(x)$ nel punto $x=1$, comunque è simpatico, una volta avevo calcolato un integrale in modo simile https://www.matematicamente.it/f/viewtopic.php?t=6925 anche se forse era più facile usare le funzioni parametriche...

Ciao!

[Sk_Anonymous]

Senza nulla voler togliere alla soluzione di ficus2002 e alla teoria delle serie di Fourier, ma... take the easy way! You know, per ogni $x \in ]-1, 1[$: $\frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^{2n}$. So $arctg(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$, if $|x| < 1$. Senonché la serie a secondo membro è convergente - per il criterio di Leibniz - quando si assuma $x = 1$. Sussistono inoltre le ipotesi del teorema di Abel - the one dealing with power series! Hence $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = arctg(1) = \frac{\pi}{4}$.

[ficus2002]

mi ero dimenticato dello sviluppo di arctan ...