2 serie; 1 integrale
La risoluzione delle due serie dovrebbe essere banale ma non riesco a trovare il modo con cui studiarle.
$sum_(n=1)^oo(logn)/n^2$
$sum_(n=1)^oo(logn)/n$
$intsqrt((x+1)/(x-1))dx$
$sum_(n=1)^oo(logn)/n^2$
$sum_(n=1)^oo(logn)/n$
$intsqrt((x+1)/(x-1))dx$
Risposte
"lupomatematico":
La risoluzione delle due serie dovrebbe essere banale ma non riesco a trovare il modo con cui studiarle.
$sum_(n=1)^oo(logn)/n^2$
$sum_(n=1)^oo(logn)/n$
$intsqrt((x+1)/(x-1))dx$
con l'integrale io procederie per sostituzione $sqrt((x+1)/(x-1))=t->x=(t^2+1)/(t^2-1)->dx=(-4t)/(t^2-1)^2dt$..
Grazie per l'aiuto. Mi date una mano anche sulle serie? 
$sum_(n=1)^oo(logn)/n$
Questa per confronto con 1/n diverge, è molto semplice.
Per la forza del cappello con fiamma gialla!
Questa per confronto con 1/n diverge, è molto semplice.
Per la forza del cappello con fiamma gialla!
$sum_(n=1)^oo(logn)/n^2$
$(logn)/n^2>1/n^2$ indi percui $logn/n>1/n$ quindi sempre per lo sbirro diverge, ma non sono sicurisssimissimo, anche
perchè il logaritmo ha tendenza a +infinito meno forte di n quindi la serie è sicuramente minore di 1/n quindi convergente
Devo dire che ho le idee molto chiare
$(logn)/n^2>1/n^2$ indi percui $logn/n>1/n$ quindi sempre per lo sbirro diverge, ma non sono sicurisssimissimo, anche
perchè il logaritmo ha tendenza a +infinito meno forte di n quindi la serie è sicuramente minore di 1/n quindi convergente
Devo dire che ho le idee molto chiare
Come fai a fare il confronto con $1/n$. Non si comporta come $1/n$ siccome :
$lim_(n->+oo)((logn)/n)/(1/n)= lim_(n->+oo)logn=+oo$
$lim_(n->+oo)((logn)/n)/(1/n)= lim_(n->+oo)logn=+oo$
Che $logn/n$ sia maggiore di $1/n$ è evidente (confronta i numeratori).
@pulcepelosa
non mi è chiaro cosa vuoi dire della seconda serie.
@pulcepelosa
non mi è chiaro cosa vuoi dire della seconda serie.
La serie con il termine $(logn)/n$ effettuando quella maggiorazione mi è chiara.
Adesso il problema è quella con il termine $(logn)/n^2$ .
Adesso il problema è quella con il termine $(logn)/n^2$ .
Il ragionamento che volevo fare è: se al posto di $logn$ mettessi $n$ la serie sarebbe divergente perchè andrebbe come $1/n$, che sappiamo essere "il limite di divergenza".
Poichè $logn$ ha una tendenza a +infinito piu' debole di $n$ la serie è sempre leggermente minore di 1/n, quindi converge.
Poichè $logn$ ha una tendenza a +infinito piu' debole di $n$ la serie è sempre leggermente minore di 1/n, quindi converge.
"lupomatematico":
La serie con il termine $(logn)/n$ effettuando quella maggiorazione mi è chiara.
Hai che $logn/n>1/n$, per $nto+infty$, dato che $logn>n$, quindi, essendo che $sum_(n=1)^(+infty)1/n$ diverge, divergerà anche $sum_(n=1)logn/n$, che è maggiore.
Questa serie l'ho capita. Il problema è l'altra con n al quadrato al denominatore.
Avevo letto "non mi è chiara", pardon.
$lim_(n->+oo)((logn)/n^2)/(1/n)= lim_(n->+oo)logn/n=0$ quindi la tendenza a zero della funzione al numeratore è maggiore rispetto $1/n$ quindi converge, no?
Se leggi gli appunti presenti su questo sito sulle serie(di Borlini), rifacendoci al nostro caso c'è scritto che siccome la serie $1/n$ è divergente se
$lim_(n->+oo)((logn)/n^2)/(1/n) $ fosse stato non nullo o infinito si poteva concludere che la serie era divergente. Siccome tal limite è nullo non possiamo giungere a nessuna conclusione sulla convergenza o meno della serie.
$lim_(n->+oo)((logn)/n^2)/(1/n) $ fosse stato non nullo o infinito si poteva concludere che la serie era divergente. Siccome tal limite è nullo non possiamo giungere a nessuna conclusione sulla convergenza o meno della serie.
capito
Penso di essere riuscito finalmente a risolvere quella serie,potete confermarmi che i seguenti passaggi sono giusti? :
ho utilizzato il secondo criterio del confronto considerando la serie convergente : $sum(1/n)^(3/2)$ .
$lim_(n->+oo)(logn/n^2)/(1/n^(3/2))= lim_(n->+oo)(logn/sqrt(n))=0$
Quindi per il secondo criterio del confronto essendo tal limite finito(in particolare nullo),siccome $sum(1/n)^(3/2)$ è convergente si può concludere che la serie $sumlogn/n^2$ è convergente.
ho utilizzato il secondo criterio del confronto considerando la serie convergente : $sum(1/n)^(3/2)$ .
$lim_(n->+oo)(logn/n^2)/(1/n^(3/2))= lim_(n->+oo)(logn/sqrt(n))=0$
Quindi per il secondo criterio del confronto essendo tal limite finito(in particolare nullo),siccome $sum(1/n)^(3/2)$ è convergente si può concludere che la serie $sumlogn/n^2$ è convergente.
Esatto. Il termine generale della serie è minorato da $1/n^(3/2)$ la quale converge quindi per il carabiniere destro o sx converge anche la serie
Grazie per la conferma 
$sum_n^(infty)logn/n^2~sum_(n)^(infty)2^nlog2^n/2^(2n)$ per il criterio di condensazione di Cauchy.
$lim_(ntoinfty)(2^nlog2^n/2^(2n))^(1/n)=1/2$ quindi converge.
$lim_(ntoinfty)(2^nlog2^n/2^(2n))^(1/n)=1/2$ quindi converge.
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