2 esercizi sulle serie numeriche

[MarkS3]

Ciao ragazzi, mi sto esercitando sulle serie numeriche e sto avendo problemi con 2 esercizi, ovvero questi:
$ sum_(n = \0)((log3(x-2))/(log3(x-1)))^n $
$ sum_(n = \0)(log(1/2)(x+1))^n $

Dove 3 e 1/2 sono le basi dei logaritmi; chiedo scusa ma non sapevo come indicarle dal tool qui sul forum
Comunque, per svolgere queste due serie ho usato la serie geometrica, dopodichè però dovrei calcolare il valore di |q| ma non so come fare, viste le 4 all'interno degli argomenti.
Magari è una stupidaggine, ma non capisco come si faccia e di esercizi a lezione ne abbiamo fatti davvero pochi.

[killing_buddha]

Una serie geometrica \(\sum_n q^n\) converge quando la sua ragione $q$ ha modulo minore di 1. Ti è sufficiente trovare quegli $x$ tali che \(\left|\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)}\right|<1\) (per la prima serie) e \(\big|\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\big| <1\) (per la seconda).

[MarkS3]

"killing_buddha":Una serie geometrica \(\sum_n q^n\) converge quando la sua ragione $q$ ha modulo minore di 1. Ti è sufficiente trovare quegli $x$ tali che \(\left|\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)}\right|<1\) (per la prima serie) e \(\big|\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\big| <1\) (per la seconda).

Ciao, spero di aver capito bene. Ti riporto cosa ho fatto, puoi dirmi se è corretto

Per la prima, al numeratore:

$ log3(x-2)<1 $

Ho passato all'esponenziale e quindi ho:

$ 3^(log3(x-2))<3^1 $ Quindi:

x-2<3 -> x<5

Al denominatore:

$ log3(x-1)<1 $

Passo all'esponenziale: $ 3^(log3(x-1))<3^1 $

Quindo ho x-1<3 -> x<4

[killing_buddha]

"killing_buddha":Una serie geometrica \(\sum_n q^n\) converge quando la sua ragione $q$ ha modulo minore di 1. Ti è sufficiente trovare quegli $x$ tali che \(\left|\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)}\right|<1\) (per la prima serie)

Si tratta di trovare gli $x$ tali che \(-1 < \frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)} < 1\), ovvero gli $x$ tali che \(-\log_3(x-1) < \log_3(x-2) < \log_3(x-1) \), ovvero (dacché \(t\mapsto \log t\) è una funzione monotona crescente) gli $x$ tali che \(\frac{1}{x-1} < x-2 < x-1\); per questo, devi risolvere due disuguaglianze.

\(\big|\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\big| <1\) (per la seconda).

Qui basta trovare quegli $x$ per cui \(-1<\log_{\frac{1}{2}}(x+1)<1\), e si tratta analogamente di un conto abbastanza facile (\(-1 = \log_{\frac{1}{2}}2\), e \(1=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\); usa ancora la monotonìa di \(\log\)).

[MarkS3]

"killing_buddha":[quote="killing_buddha"]Una serie geometrica \(\sum_n q^n\) converge quando la sua ragione $q$ ha modulo minore di 1. Ti è sufficiente trovare quegli $x$ tali che \(\left|\frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)}\right|<1\) (per la prima serie)

Si tratta di trovare gli $x$ tali che \(-1 < \frac{\log_3(x-2)}{\log_3(x-1)} < 1\), ovvero gli $x$ tali che \(-\log_3(x-1) < \log_3(x-2) < \log_3(x-1) \), ovvero (dacché \(t\mapsto \log t\) è una funzione monotona crescente) gli $x$ tali che \(\frac{1}{x-1} < x-2 < x-1\); per questo, devi risolvere due disuguaglianze.

\(\big|\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\big| <1\) (per la seconda).

Qui basta trovare quegli $x$ per cui \(-1<\log_{\frac{1}{2}}(x+1)<1\), e si tratta analogamente di un conto abbastanza facile (\(-1 = \log_{\frac{1}{2}}2\), e \(1=\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\); usa ancora la monotonìa di \(\log\)).[/quote]

Ciao, scusami ma ancora non ho capito
Potresti farmi vedere come si risolvono le disequazioni nella prima? Non vorrei aver sbagliato
Nella seconda invece hai imposto prima x=-1 e poi x=1 o ho capito male? (probabile)
Potresti spiegarmi nel dettaglio anche come continuare per la risoluzione completa, perfavore?
Ti ringrazio per l'aiuto

[killing_buddha]

Quali sono i numeri reali $a$ tali che $|a|< 1$? E' tutto qui.

[MarkS3]

"killing_buddha":Quali sono i numeri reali $a$ tali che $|a|< 1$? E' tutto qui.

Allora, ho riprovato a fare la seconda, sperando di aver capito bene stavolta. Quindi ho:

$ -1 Poi:
$ log _(1/2)2 Tolgo il logaritmo e ottengo :
$ 2<+1<1/2 $
Quindi ho le due disequazioni $ 2 Le risolvo e ottengo, per la prima: $ x>1 $ e per la seconda $ z<-1/2 $

Spero di aver fatto, anche se ho ancora qualche dubbio sul dire il carattere della serie arrivato a questo punto

[killing_buddha]

Tolgo il logaritmo

"Tolgo il logaritmo" is for boys,
"la funzione \(t\mapsto \log t\) è strettamente monotona" is for men.

[MarkS3]

"killing_buddha":

Tolgo il logaritmo

"Tolgo il logaritmo" is for boys,
"la funzione \(t\mapsto \log t\) è strettamente monotona" is for men.

Quindi ho fatto bene?
Perciò arrivato a questo, con x<-1/2 e x>1 come dico che la serie è convergente?

[MarkS3]

@killing_buddha

[MarkS3]

"MarkS3":[quote="killing_buddha"]

Tolgo il logaritmo

"Tolgo il logaritmo" is for boys,
"la funzione \(t\mapsto \log t\) è strettamente monotona" is for men.

Quindi ho fatto bene?
Perciò arrivato a questo, con x<-1/2 e x>1 come dico che la serie è convergente?[/quote]

E' possibile avere quest'ultimo chiarimento, per favore?