2 esercizi sugli integrali improprio
Salve,
avrei bisogno di un aiuto su questi due esercizi, perchè proprio non ne vengo fuori.. grazie in anticipo.
1) Senza calcolarlo, dire se il seguente integrale converge da 0 a π
∫1/√(1 - sin(x)) dx
2) Calcolare gli a tali che l'integrale converga da 0 a ∞
∫ (π/2 - arctan√x) / (x^a) dx
avrei bisogno di un aiuto su questi due esercizi, perchè proprio non ne vengo fuori.. grazie in anticipo.
1) Senza calcolarlo, dire se il seguente integrale converge da 0 a π
∫1/√(1 - sin(x)) dx
2) Calcolare gli a tali che l'integrale converga da 0 a ∞
∫ (π/2 - arctan√x) / (x^a) dx
Risposte
anzitutto ti ricordo l'utilizzo dlle formule; in ogni caso consideriamo il primo integrale:
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-\sin x}}
\end{align}
anzitutto osserviamo che la funzione integranda risulta definita per ogni valore di $x\ne\frac{\pi}{2}$, dunque l'integrale risulta improprio nell'intervallo di integrazione nel punto $x=\frac{\pi}{2};$ inoltre si osserva cha la funzione integranda risulta positiva nell'intervallo di integrazione, dunque possiamo considerarne il suo comportametto asintotico quando $x\to\frac{\pi}{2};$ considerando lo sviluppo di Taylor della funzione seno nel punto $x=\frac{\pi}{2}$ avremo:
\begin{align}
&f\left( \frac{\pi}{2}\right)+\frac {f'\left( \frac{\pi}{2}\right)}{1!} \left( x-\frac{\pi}{2}\right)+ \frac{f^{''}\left( \frac{\pi}{2}\right)}{2!} \left( x-\frac{\pi}{2}\right)^2 + \cdots\\
& \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \left(x-\frac{\pi}{2}\right)- \frac{ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!} \left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 + \cdots\\
&1-\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}
\end{align}
allora la fuznione integranda risulta asintotica a:
$x\to\frac{\pi}{2};$ considerando lo sviluppo di Taylor della funzione seno nel punto $x=\frac{\pi}{2}$ avremo:
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-\sin x}}\sim\frac{1}{\sqrt{1-1+\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}}}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt{ \left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt 2}{ x-\frac{\pi}{2} }\to \mbox{non converge}
\end{align}
per il secondo ... mangio prima!
\begin{align}
\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{1-\sin x}}
\end{align}
anzitutto osserviamo che la funzione integranda risulta definita per ogni valore di $x\ne\frac{\pi}{2}$, dunque l'integrale risulta improprio nell'intervallo di integrazione nel punto $x=\frac{\pi}{2};$ inoltre si osserva cha la funzione integranda risulta positiva nell'intervallo di integrazione, dunque possiamo considerarne il suo comportametto asintotico quando $x\to\frac{\pi}{2};$ considerando lo sviluppo di Taylor della funzione seno nel punto $x=\frac{\pi}{2}$ avremo:
\begin{align}
&f\left( \frac{\pi}{2}\right)+\frac {f'\left( \frac{\pi}{2}\right)}{1!} \left( x-\frac{\pi}{2}\right)+ \frac{f^{''}\left( \frac{\pi}{2}\right)}{2!} \left( x-\frac{\pi}{2}\right)^2 + \cdots\\
& \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)+ \cos \left(\frac{\pi}{2}\right) \left(x-\frac{\pi}{2}\right)- \frac{ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)}{2!} \left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2 + \cdots\\
&1-\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}
\end{align}
allora la fuznione integranda risulta asintotica a:
$x\to\frac{\pi}{2};$ considerando lo sviluppo di Taylor della funzione seno nel punto $x=\frac{\pi}{2}$ avremo:
\begin{align}
\frac{1}{\sqrt{1-\sin x}}\sim\frac{1}{\sqrt{1-1+\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}{2}}}=\frac{\sqrt 2}{\sqrt{ \left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}}=\frac{\sqrt 2}{ x-\frac{\pi}{2} }\to \mbox{non converge}
\end{align}
per il secondo ... mangio prima!
edit: Noisemaker mi superi di brutto come velocità a postare e fare conti 
Per il primo integrale $int_(0)^(\pi) 1/sqrt(1-sin(x))dx$ inizia ad osservare che per $x=\pi/2$ si annulla il denominatore quindi spezzi l'integrale come segue:
$int_(0)^(\pi/2) 1/sqrt(1-sin(x))dx+int_(\pi/2)^(\pi) 1/sqrt(1-sin(x))dx$
Visto che l'unica punto in cui bisogna verificare la convergenza dell'integrale è $x=\pi/2$ dovresti calcolare la parte principale della tua integranda in quel punto e confrontarla con le funzioni campione...
Per il secondo $int_(0)^(+oo) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx$, lo spezzo come segue per avere un integrale di seconda e di prima specie:
$int_(0)^(7) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx+int_(7)^(+oo) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx$
Ora devo verificare solo la convergenza in $0$ e $+oo$...
Per $x->0 (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a \∼ (\pi/2)/x^a$ e quindi converge per $a<1$...
Ora lascio a te l'altro caso
Per il primo integrale $int_(0)^(\pi) 1/sqrt(1-sin(x))dx$ inizia ad osservare che per $x=\pi/2$ si annulla il denominatore quindi spezzi l'integrale come segue:
$int_(0)^(\pi/2) 1/sqrt(1-sin(x))dx+int_(\pi/2)^(\pi) 1/sqrt(1-sin(x))dx$
Visto che l'unica punto in cui bisogna verificare la convergenza dell'integrale è $x=\pi/2$ dovresti calcolare la parte principale della tua integranda in quel punto e confrontarla con le funzioni campione...
Per il secondo $int_(0)^(+oo) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx$, lo spezzo come segue per avere un integrale di seconda e di prima specie:
$int_(0)^(7) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx+int_(7)^(+oo) (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a dx$
Ora devo verificare solo la convergenza in $0$ e $+oo$...
Per $x->0 (\pi/2-arctan(sqrt(x)))/x^a \∼ (\pi/2)/x^a$ e quindi converge per $a<1$...
Ora lascio a te l'altro caso
Be ma tu ne hai scritti due!
Grazie mille per le risposte e l'interesse...
Quindi nel primo integrale faccio lo sviluppo di Taylor in π/2 e poi la confronto con l'integrale di 1/x giusto?
Mentre nel secondo chiedo scusa ma non ho capito: nel mio foglio di esercizi il prof dice che si potrebbe usare il criterio del confronto asintotico, determinando preliminarmente un ß tale che il limite a +∞ del numeratore moltiplicato per x^ß sia un numero finito e diverso da 0. E' un metodo "inutilmente" più complicato? La spiegazione datami qui mi sembra molto più diretta ed efficiente. Il numero 7 negli estremi dell'integrale è preso arbitrariamente per poterlo dividere in due impropri o è preciso? Potrei avere la spiegazione del secondo caso? Non vorrei dare l'idea del fannullone ma verrebbe una forma indeterminata, come potrei gestirla?
Infine dato che si sono chiedo un' ultima cosa: l'integrale seguente può essere confrontato direttamente con 1/x giusto?
\[ \int_0^∞(sin^2x) dx \]
Quindi nel primo integrale faccio lo sviluppo di Taylor in π/2 e poi la confronto con l'integrale di 1/x giusto?
Mentre nel secondo chiedo scusa ma non ho capito: nel mio foglio di esercizi il prof dice che si potrebbe usare il criterio del confronto asintotico, determinando preliminarmente un ß tale che il limite a +∞ del numeratore moltiplicato per x^ß sia un numero finito e diverso da 0. E' un metodo "inutilmente" più complicato? La spiegazione datami qui mi sembra molto più diretta ed efficiente. Il numero 7 negli estremi dell'integrale è preso arbitrariamente per poterlo dividere in due impropri o è preciso? Potrei avere la spiegazione del secondo caso? Non vorrei dare l'idea del fannullone ma verrebbe una forma indeterminata, come potrei gestirla?
Infine dato che si sono chiedo un' ultima cosa: l'integrale seguente può essere confrontato direttamente con 1/x giusto?
\[ \int_0^∞(sin^2x) dx \]
Il primo integrale è già svolto da Noisemaker dacci uno sguardo e chiedi se hai dubbi...
Per il secondo 7 è un estremo a caso visto che in questo caso potevo sceglierlo senza preoccuparmi.. cmunque alla fine il tuo prof dice di fare ciò che ti abbiamo suggerito noi se ci pensi:
Io procederei calcolando prima la parte principale di $\pi/2-arctan(x)$ e quindi dovrei determinare $\beta$ tale che:
$lim_(x->+oo) (\pi/2-arctan(x))/(1/x^\beta)!=0$ ( oppure uguale ad 1, per trovare la parte principale)
E' una forma indeterminata quindi applico il Marchese:
$lim_(x->+oo) (-1/(1+x)*1/(2sqrt(x)))/(-\beta/x^(\beta+1)$
$lim_(x->+oo) 1/(1+x)*1/(2sqrt(x))*x^(\beta+1)/\beta$
Quindi osservando gli esponenti posso dedurre che $\beta=1/2$ in quanto i primi 2 fattori hanno come termine dominante al denominatore rispettivamente $x^(-1)$ e $x^(-1/2)$ che sommati danno $-3/2$.. quindi alla fine ottieni $\beta=1/2$...
Quindi abbiamo capito che il numeratore della nostra integranda si comporta come $1/sqrt(x)$ quando $x->+oo$ e ora non ci resta che confrontarlo con $x^a$ quindi:
$(1/sqrt(x))/x^a$ da cui ricavo $-a-1/2>1$ e quindi $a<-3/2$....
Che come risultato mi sembra parecchio strano, ma deve essere l'orario ed il sabato sera quindi prendilo molto con le pinze
Per il secondo integrale è abbastanza facile:
$int_(0)^(+oo) sin^2(x)dx$
Questo integrale è improprio soltanto quando $x->+oo$ quindi confrontando con $1/x^\alpha$:
$lim_(x->+oo) sin^2(x)/(1/x^\alpha)$.. a questo punto dovresti concludere
dacci uno sguardo e chiedi se hai dubbi...Per il secondo 7 è un estremo a caso visto che in questo caso potevo sceglierlo senza preoccuparmi.. cmunque alla fine il tuo prof dice di fare ciò che ti abbiamo suggerito noi se ci pensi:
Io procederei calcolando prima la parte principale di $\pi/2-arctan(x)$ e quindi dovrei determinare $\beta$ tale che:
$lim_(x->+oo) (\pi/2-arctan(x))/(1/x^\beta)!=0$ ( oppure uguale ad 1, per trovare la parte principale)
E' una forma indeterminata quindi applico il Marchese:
$lim_(x->+oo) (-1/(1+x)*1/(2sqrt(x)))/(-\beta/x^(\beta+1)$
$lim_(x->+oo) 1/(1+x)*1/(2sqrt(x))*x^(\beta+1)/\beta$
Quindi osservando gli esponenti posso dedurre che $\beta=1/2$ in quanto i primi 2 fattori hanno come termine dominante al denominatore rispettivamente $x^(-1)$ e $x^(-1/2)$ che sommati danno $-3/2$.. quindi alla fine ottieni $\beta=1/2$...
Quindi abbiamo capito che il numeratore della nostra integranda si comporta come $1/sqrt(x)$ quando $x->+oo$ e ora non ci resta che confrontarlo con $x^a$ quindi:
$(1/sqrt(x))/x^a$ da cui ricavo $-a-1/2>1$ e quindi $a<-3/2$....
Che come risultato mi sembra parecchio strano, ma deve essere l'orario ed il sabato sera quindi prendilo molto con le pinze
Per il secondo integrale è abbastanza facile:
$int_(0)^(+oo) sin^2(x)dx$
Questo integrale è improprio soltanto quando $x->+oo$ quindi confrontando con $1/x^\alpha$:
$lim_(x->+oo) sin^2(x)/(1/x^\alpha)$.. a questo punto dovresti concludere
due osservazioni:
[*:10zr0lta] nel secondo integrale improrio, era alternativamente e sufficiente, ricordare che
\[\frac{\pi}{2}-\arctan{x}=\arctan\frac{1}{x},\quad x>0\]
quindi l'integrale risulta uguale a
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan{\sqrt x}}{x^{\alpha}}=\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan\frac{1}{\sqrt x}}{x^{\alpha}}&\stackrel{x\to+\infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt x \cdot x^{\alpha}} = \frac{1}{ x^{\alpha+\frac{1}{2}}}\\
& \to\mbox{converge se } {\alpha+\frac{1}{2}}>1, \alpha>\frac{1}{2}
\end{align}[/*:m:10zr0lta]
[*:10zr0lta]l'integrale improprio
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \sin^2x
\end{align}
è evidentemente divergente, senza fare nessun calcolo, ricordando il grafico della funzione $\sin^2x$; in più essendo possibile calolarlo elementarmente, otteniamo:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \sin^2x=\frac{1}{2}\left(x-\sin x\cos x\right)\mid_{0}^{+\infty}&=\lim_{k\to+\infty}\frac{1}{2}\left(k-\sin k\cos k\right)-\frac{1}{2}\left(0-\sin 0\cos 0\right)\\
&=\lim_{k\to+\infty}\frac{1}{4} k\cdot \left(2-\frac{2\sin k\cos k}{k}\right) =\lim_{k\to+\infty}\frac{1}{4} k\cdot \left(2-\frac{ \sin 2k }{k}\right) \\
&=+\infty
\end{align}
e dunque l'integrale risulta divergente.[/*:m:10zr0lta][/list:u:10zr0lta]
Grazie mille, siete stati davvero chiari, ho capito benissimo!
Siccome sto preparando l'esame di analisi ad ingegneria, se in caso avessi qualche altro dubbio su qualche esercizio, potrei continuare a scrivervi qui?
Siccome sto preparando l'esame di analisi ad ingegneria, se in caso avessi qualche altro dubbio su qualche esercizio, potrei continuare a scrivervi qui?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo