2 esercizi

[Sk_Anonymous]

Data la funzione

$f(t)={(0,t<0),(e^(-2t),t>=0):}$

si determinino in ambito distribuzionale $f^('')$ e il limite $lim_(n->+infty)nf(nt)$

Si determini,nell'opportuno ambito, la trasformata di Fourier di

$f(t)=t+cosomegatdelta(t)$

essendo $delta(t)$ la delta di Dirac e $omega in RR$

[Kroldar]

"Ainéias":
Si determini,nell'opportuno ambito, la trasformata di Fourier di

$f(t)=t+cosomegatdelta(t)$

Non ho ben capito: le delta moltiplica il coseno oppure è contenuta nel suo argomento?

$delta(t) cos(omegat)$

$cos[omegatdelta(t)]$

Quale delle due?

[Sk_Anonymous]

Non lo so,il testo è così come l'ho copiato.

[Sk_Anonymous]

Ragazzi,nessuno ci sa mettere mano?

[_nicola de rosa]

"Ainéias":Ragazzi,nessuno ci sa mettere mano?

1) Il tuo segnale è $f(t)=e^(-2t)*u(t)$ dove $u(t)={(1,,t>=0),(0,,t<0):}$.
Ora si applichi la derivata del prodotto ricavando $f'(t)=-2e^(-2t)*u(t)+e^(-2t)*u'(t)$
Ora sappiamo che la derivata del gradino in ambito distribuzionale è la delta di dirac per cui
$f'(t)= -2e^(-2t)*u(t)+e^(-2t)*delta(t)$ e sfruttando la proprietà campionatrice della delta per cui $f(t)*delta(t)=f(0)*delta(t)$ si ha
$f'(t)= -2e^(-2t)*u(t)+delta(t)$. Analogamente calcoliamo la derivata seconda:
$f''(t)=4e^(-2t)u(t)-2e^(-2t)*u'(t)+delta'(t)=4e^(-2t)u(t)-2e^(-2t)*delta(t)+delta'(t)=4e^(-2t)u(t)-2*delta(t)+delta'(t)$

2)Per la trasformata:
a)se è $f(t)=t+cos(omega*t*delta(t))$, sfruttando la proprietà campionatrice della delta si ha $t*delta(t)=0$ si ha $f(t)=t+1=i*(-i*t)+1->F(omega)=i*F(-i*t*1)+F(1)=i*2pi*delta'(omega)+2pi*delta(omega)$ avendo sfruttato la proprietà di derivazione per cui $F(-i*t*x(t))=X'(omega)$
b) se è $f(t)=t+delta(t)*cos(omega*t)$ sfruttando la proprietà campionatrice della delta si ha $delta(t)*cos(omega*t)=delta(t)*1=delta(t)$ per cui $f(t)=t+delta(t)->F(omega)=i*F(-i*t*1)+F(delta(t))=i*2pi*delta'(omega)+1$