2 esercizi
1)
Posto,$AAx in RR,f(x)=x^4e^(-x^2)-x^2/(1+x^4),$calcolare $f^(18)(0)$
Il secondo forse lo postai ma nessuno diede soluzione,eccolo:
2)
Siano,per $k,r in RR,k,r>0$ arbitratriamente fissati,$2kpi$ ed $r$ rispettivamente il passo ed il raggio dell'elica di equazione:
${(x(t)=rcost),(y(t)=rsint),(z(t)=kt):}
detta $l$ la lunghezza dell'arco di elica relativo all'intervallo $[0,2pi]$, determinare sotto quali condizioni per $k$ ed $r$ il rapporto tra passo e raggio eguaglia $l$.
Posto,$AAx in RR,f(x)=x^4e^(-x^2)-x^2/(1+x^4),$calcolare $f^(18)(0)$
Il secondo forse lo postai ma nessuno diede soluzione,eccolo:
2)
Siano,per $k,r in RR,k,r>0$ arbitratriamente fissati,$2kpi$ ed $r$ rispettivamente il passo ed il raggio dell'elica di equazione:
${(x(t)=rcost),(y(t)=rsint),(z(t)=kt):}
detta $l$ la lunghezza dell'arco di elica relativo all'intervallo $[0,2pi]$, determinare sotto quali condizioni per $k$ ed $r$ il rapporto tra passo e raggio eguaglia $l$.
Risposte
Per la 1) scriviti gli sviluppi in serie di Mc Laurin.
"ENEA84":
2) Siano,per $k,r in RR,k,r>0$ arbitratriamente fissati,$2kpi$ ed $r$ rispettivamente il passo ed il raggio dell'elica di equazione:
${(x(t)=rcost),(y(t)=rsint),(z(t)=kt):}
detta $l$ la lunghezza dell'arco di elica relativo all'intervallo $[0,2pi]$, determinare sotto quali condizioni per $k$ ed $r$ il rapporto tra passo e raggio eguaglia $l$.
Poniamo $alpha(t) = (rcost, rsint, kt)$.
La lunghezza di questa curva nell'intervallo $[0,2pi]$ è data da $int_0^(2pi) |alpha'(t)|dt$.
Quindi $alpha'(t) = (-rsint, rcost, k)$ e $|alpha'(t)|=sqrt(r^2+k^2)$.
Sostituendo $int_0^(2pi) |alpha'(t)|dt = int_0^(2pi) sqrt(r^2+k^2)dt = 2pi sqrt(r^2+k^2) = l$.
La condizione quindi è $(2kpi)/r=2pi sqrt(r^2+k^2) => k/r=sqrt(r^2+k^2)$.
Per il primo, occorre fare lo sviluppo di MacLaurin
di $e^(-x^2)$ fino all'ordine 14, perché
c'è $x^4$ davanti, mentre
per quanto riguarda $(1+x^4)^(-1)$
occorre sviluppare fino all'ordine 16, per
la presenza di $-x^2$ davanti. Dopo qualche
conto si ottiene il polinomio di MacLaurin
di ordine 18 della funzione data, e sappiamo
che la derivata di ordine k del polinomio
di MacLaurin, valutata in 0, è uguale alla
derivata di ordine k della funzione, valutata in 0;
questo per ogni k intero positivo.
La derivata di ordine 18 di tale polinomio
è allora una costante e vale:
$f^((18)) (0) = 18!*(-5041/5040) = -6403644017971200
essendo $-5041/5040$ il coefficiente del
monomio di grado 18 nel polinomio di MacLaurin.
di $e^(-x^2)$ fino all'ordine 14, perché
c'è $x^4$ davanti, mentre
per quanto riguarda $(1+x^4)^(-1)$
occorre sviluppare fino all'ordine 16, per
la presenza di $-x^2$ davanti. Dopo qualche
conto si ottiene il polinomio di MacLaurin
di ordine 18 della funzione data, e sappiamo
che la derivata di ordine k del polinomio
di MacLaurin, valutata in 0, è uguale alla
derivata di ordine k della funzione, valutata in 0;
questo per ogni k intero positivo.
La derivata di ordine 18 di tale polinomio
è allora una costante e vale:
$f^((18)) (0) = 18!*(-5041/5040) = -6403644017971200
essendo $-5041/5040$ il coefficiente del
monomio di grado 18 nel polinomio di MacLaurin.
Spero proprio che i professori di ENEA84 non vogliano il risultato esplicito.
Infatti... Si può riscrivere in modo meno incasinato così:
$f^((18))(0)=-18!*(1+1/(7!))
$f^((18))(0)=-18!*(1+1/(7!))
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