$1/(10^k) - 1/(10^n) < 1/10^k$ è vera $\forall n > k$?

[Lanus1]

Ciao a tutti, nel mio libro di analisi (pagani-salsa) viene usato questo passaggio all'interno di una dimostrazione sull'equivalenza tra $1$ e $0,\bar{9}$.
Salto tutta la dimostrazione perchè mi è chiara e vorrei concentrarmi solo su questo passaggio chiave: "una disuguaglianza come $1/(10^k) - 1/(10^n) < 1/10^k$, se deve valere $\forall n > k$, allora è falsa" (e sottolineo lo 'strettamente minore').
Io proprio non riesco a capire perchè lo sia, infatti non vengono usati i limiti (in questa parte del libro ancora non sono stati introdotti) e intuitivamente $\forall n > k$ tale diseguaglianza dovrebbe rimanere vera, perchè per quanto $1/(10^n)$ diventi piccolo sarà sempre maggiore di zero... dove sbaglio?
Magari se ne è discusso parecchie volte, ma non saprei proprio come impostare una ricerca su una cosa del genere

PS: Buon natale

[Luca.Lussardi]

penso ci sia un errore nel testo, la disuguaglianza che hai scritto e' banalmente vera sempre, $\frac{1}{10^k}$ si semplifica...

[Lanus1]

Eh infatti mi è sembrata una cosa assurda, forse non ho interpretato bene il testo, riporto la dimostrazione completa:

E' noto che non si può ottenere un allineamento con periodo 9. Infatti, se il numero razionale $a$ ammettesse una rappresentazione della forma:
$p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k\alpha_{k+1}\cdots$ con $9=\alpha_{k+1}=\alpha_{k+2}=\cdots$

si avrebbe, per ogni $n\geqk$,
$p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k\cdots\alpha_n=p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k+9/(10^(k+1))+\cdots+9/(10^n)=$
(applicando la somma dei termini in progessione geometrica)
$=p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k+9/(10^(k+1))(1-1/10^(n-k))/(1-1/10)=p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k+1/10^k-1/10^n$

e dovrebbe essere
$p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k+1/10^k-1/10^n\leqa
Ma la disuguaglianza di sinistra, dovendo valere per ogni $n\geqk$, implica $p_0.\alpha_1\cdots\alpha_k+1/10^k\leqa$, in contraddizione con la disuguaglianza di destra.

In rosso il passaggio che non mi torna

[Luca.Lussardi]

mi pare che la disuguaglianza di sinistra sia vera perche' hai troncato lo sviluppo decimale di $a$ alla $n$-ma cifra decimale, tutti i 9 rimasti li hai buttati. Comunque, al di la' della disuguaglianza incriminata, non concordo con
"E' noto che non si può ottenere un allineamento con periodo 9."
Certo che puoi avere tutti 9, questo numero lo puoi benissimo scrivere, quindi esiste: $0,99999..$ e' un numero razIonale e si dimostra essere pari a 1; la cosa sottile e' che va detto meglio: $0,99999..$ e' una rappresentazione, in base dieci, del numero razIonale "uno", 1 e' un'altra rappresentazione, in base dieci, del numero uno.

[igiul1]

$ 1/(10^k) - 1/(10^n) $ può essere un numero negativo? Forse il dubbio svanisce rispondendo a questa domanda.

[Lanus1]

Grazie ora ho le idee più chiare
Ho trovato anche un topic dove si affrontava la medesima questione, la stessa dimostrazione è presente anche sul Soardi