1° teorema fondamentale del calcolo integrale e somme di Riemann

[michele.assirelli]

1° Teorema fondamentale del calcolo integrale

Siano $[a,b] sube \mathbb {R} $ , $f:[a,b]->\mathbb {R}$ derivabile con derivata continua
Allora $\int_a^bf'(x)dx = f(b)-f(a)$

Dimostrazione

Sia ${x_0,x_1,...,x_n}$ suddivisione di $[a.b]$
Per $i = 1,2,...,n$ applichiamo Lagrange a $f$ ristretta a $[x_(i-1),x_i] $
Allora $EE c_i \in ]x_(i-1),x_i[$ tale che $f'(c_i)= f(x_i)-f(x_(i-1))$
Dunque $S(f';(c_1,...,c_n)) = (b-a)/n \sum_{i=1}^n f'(c_i)$

Fin qua tutto chiaro, il passaggio successivo è invece quello che non mi è chiaro, ed è il seguente
$(b-a)/n \sum_{i=1}^n f'(c_i)$ = $(b-a)/n \sum_{i=1}^n n/(b-a) f(x_i)- f(x_(i-1))$
Non riesco a capire da dove esce fuori quel $n/(b-a)$ comparso all'interno della sommatoria

[donald_zeka]

Ne esistono tante di dimostrazioni do questo teorema, perché devi complicarti la vita scegliendo la dimostrazione meno semplice?

[renat_1]

"WeP":

Per $i = 1,2,...,n$ applichiamo Lagrange a $f$ ristretta a $[x_(i-1),x_i] $
Allora $EE c_i \in ]x_(i-1),x_i[$ tale che $f'(c_i)= f(x_i)-f(x_(i-1))$

Sei sicuro che il teorema di Lagrange dica proprio questo?

[michele.assirelli]

@ Vulplasir
A lezione abbiamo fatto questa, quindi presumo il professore voglia sapere questa all'orale
Non so quanto semplici siano le altre, ma a me questa non sembra complicata, si tratta solamente di applicare Lagrange e la definizione di somma di Riemann
@ Renat
Se provi ad applicare Lagrange e semplifichi ottieni quello che ho scritto

[renat_1]

il teorema di lagrange non dovrebbe dire questo?
$EE c_i \in ]x_(i-1),x_i[$ tale che $f'(c_i)= (f(x_i)-f(x_(i-1)))/(x_i-x_(i-1))$

[michele.assirelli]

"renat_":il teorema di lagrange non dovrebbe dire questo?
$EE c_i \in ]x_(i-1),x_i[$ tale che $f'(c_i)= (f(x_i)-f(x_(i-1)))/(x_i-x_(i-1))$

Sì renat hai ragione, sbagliavo io perchè interpretavo il testo come $f'(c_i)= (f(x_i)-f(x_i-1))/(x_i-(x_i-1))$

Detto questo adesso ho capito anche la dimostrazione iniziale

[donald_zeka]

No, certo, non è che sia difficile, comunque crea un po' di confusione chiamarlo primo teorema fondamentale del calcolo integrale, dato che in teoria di teorema fondamentale ce n'è uno solo, e non dice quello che dice questo teorema, ma questo teorema ne è solo un semplice corollario, insomma ecco perché dicevo che ce n'erano di più semplici di dimostrazioni. Ma tant'è, se il tuo professore ha scelto questa linea.