$(1-na)<(1-a)^n<1/(1+na)$

[Plepp]

Salve gente
Devo dimostrare che, se $1>a\in RR^+$, $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ si ha che
\[1-na<(1-a)^n<\dfrac{1}{1+na}\]

Dimostro innanzitutto la prima disuguaglianza. Posto $a': =-a$ ho che $-1 \[(1+a')^n > 1+na'\]
che vale per ogni $-1 Dimostro la seconda disuguaglianza (diciamola $(\text{D})$) per induzione su $n$. Mi accorgo che, a contrario di quanto detto nella traccia, posso far partire il processo induttivo da $n=1$, infatti si ha
\[(1-a)^1<\dfrac{1}{1+1\cdot a}\implies (1-a)(1+a)=1-a^2<1\]
Suppongo dunque che $(\text{D})$ sia vera per ogni $n>1$; trovo che
\[(1-a)^{n+1}=(1-a)(1-a)^n<\dfrac{1}{1+na}(1-a)<\dfrac{1}{1+na+a}(1-a)<\dfrac{1}{1+na+a}=\dfrac{1}{1+(n+1)a}\]

Che ne pensate?

Giuseppe

[Sk_Anonymous]

"Plepp":[...]
\[\displaystyle \dfrac{1}{1+na}(1-a)<\dfrac{1}{1+na+a} (1-a)\]
[...]

Non mi è chiaro il passaggio che ho riportato. Abbiamo che \(\displaystyle 01+na>0 \) da cui \[\displaystyle \frac{1}{na+1} > \frac{1}{1+na+a} \]

[Kashaman]

"Plepp":Salve gente
Devo dimostrare che, se $1>a\in RR^+$, $\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}$ si ha che
\[1-na<(1-a)^n<\dfrac{1}{1+na}\]

Dimostro innanzitutto la prima disuguaglianza. Posto $a': =-a$ ho che $-1 \[(1+a')^n > 1+na'\]
che vale per ogni $-1 it's right.

Dimostro la seconda disuguaglianza (diciamola $(\text{D})$) per induzione su $n$. Mi accorgo che, a contrario di quanto detto nella traccia, posso far partire il processo induttivo da $n=1$, infatti si ha
\[(1-a)^1<\dfrac{1}{1+1\cdot a}\implies (1-a)(1+a)=1-a^2<1\]
Suppongo dunque che $(\text{D})$ sia vera per ogni $n>1$; trovo che
\[(1-a)^{n+1}=(1-a)(1-a)^n<\dfrac{1}{1+na}(1-a)<\dfrac{1}{1+na+a}(1-a)<\dfrac{1}{1+na+a}=\dfrac{1}{1+(n+1)a}\]

La terza diseguaglianza non mi convince.
Prendi $a=1/2 , n=2$

[Kashaman]

scusa del , ho risposto in concomitanza con te

[Plepp]

Azz, scusate, m'ero distratto Ho pensato ad una dimostrazione alternativa, forse poco elegante; arrivato qui:
\[(1-a)^{n+1}=(1-a)^n(1-a)<(1-a)\dfrac{1}{1+na}\]
posso dimostrare che
\[(1-a)\dfrac{1}{1+na}<\dfrac{1}{1+(n+1)a}\]
come segue: per comodità, pongo innanzitutto
\[1+na=:t>1\]
e dimostro che
\[\dfrac{1}{1+(n+1)a}-(1-a)\dfrac{1}{1+na}>0\]
ovvero che
\[\dfrac{1}{t+a}-\dfrac{(1-a)}{t}>0\]
E infatti
\[\dfrac{1}{t+a}-\dfrac{(1-a)}{t}=\dfrac{t-\overbrace{\dfrac{1-a}{t+a}}^{<1}}{\underbrace{t(t+a)}_{>0}}\ \ >0\]
Così dovrebbe andare, anche se non è il top

[totissimus]

La seconda disuguaglianza forse si può provare anche applicando Bernoulli:

\( \displaystyle \left( \frac{1}{1-a}\right)^{n+1}=\left( 1+\frac{a}{1-a}\right)^{n+1}\geq 1+\frac{(n+1)a}{1-a}=\frac{1+na}{1-a}\)

Semplificando e invertendo si ha:

\( \displaystyle (1-a)^n \leq \frac{1}{1+na}\)

[Plepp]

Bella alternativa