1-forme e 2-forme
qualcuno sa darmi una definizione seria di 1-forme e 2-forme su superfici differenziabili?
Risposte
te la cerco così non ti dico cavolate...
beh, penso che se ti dico che una 1-forma è una sezione differenziabile $\omega:M->T$*$M$ mi picchi, vero?
si!!!
diciamo che se mi formalizzi bene quella che ha dato oggi A*****o mi va bene...
diciamo che se mi formalizzi bene quella che ha dato oggi A*****o mi va bene...
Ok, quindi in coordinate locali.
È complicato perché non so quanto tu sappia di geodiff... ci provo.
In particolare provo a spiegarti le notazioni.
Sia $S$ una varietà 2-dimensionale.
Sia $U_\alpha$ un aperto coordinato di $M$ e siano $(x_\alpha,y_\alpha)\in\phi(U_\alpha)$ le coordinate su $U_\alpha$ (cioè $p=\phi(x_\alpha,y_\alpha)$ sono equazioni parametriche di $M$ in $U_\alpha$).
$e_1=\partial/{\partial x_\alpha},e_2=\partial/{\partial y_\alpha}$ (dove $\partial/{\partial x_\alpha}|_p$ è il vettore tangente alla linea $x$ in $p$ e analogamente per $\partial/{\partial y_\alpha}$) è la base naturale per $TM|_{U_\alpha}$ (spazio tangente) e $(e_1$*$=dx_\alpha,e_2$*$=dy_\alpha)$ è la corrispondente base duale (data da $e_i$*$(e_j)=\delta_{ij}$).
$\phi$* è l'inversa della trasposta di $\phi$ (in realtà credo di $\dot{\phi}$ indotta da $\phi$ sullo spazio tangente a $U_\alpha$)
(Ricordiamo che se $f:V->W$ è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali $V,W$ la trasposta di $f$ è l'applicazione $^tf:W$*$->V$* data da $^tf(\psi)(v)=\psi(fv)$ $\forall\psi\in W$*,$v\in V$)
$dx\wedge dy$ (prodotto esterno) è dato da $dx\wedge dy(v_1,v_2)=dx(v_1)dy(v_2)-dx(v_2)dy(v_1)$
È complicato perché non so quanto tu sappia di geodiff... ci provo.
In particolare provo a spiegarti le notazioni.
Sia $S$ una varietà 2-dimensionale.
Sia $U_\alpha$ un aperto coordinato di $M$ e siano $(x_\alpha,y_\alpha)\in\phi(U_\alpha)$ le coordinate su $U_\alpha$ (cioè $p=\phi(x_\alpha,y_\alpha)$ sono equazioni parametriche di $M$ in $U_\alpha$).
$e_1=\partial/{\partial x_\alpha},e_2=\partial/{\partial y_\alpha}$ (dove $\partial/{\partial x_\alpha}|_p$ è il vettore tangente alla linea $x$ in $p$ e analogamente per $\partial/{\partial y_\alpha}$) è la base naturale per $TM|_{U_\alpha}$ (spazio tangente) e $(e_1$*$=dx_\alpha,e_2$*$=dy_\alpha)$ è la corrispondente base duale (data da $e_i$*$(e_j)=\delta_{ij}$).
$\phi$* è l'inversa della trasposta di $\phi$ (in realtà credo di $\dot{\phi}$ indotta da $\phi$ sullo spazio tangente a $U_\alpha$)
(Ricordiamo che se $f:V->W$ è un'applicazione lineare tra spazi vettoriali $V,W$ la trasposta di $f$ è l'applicazione $^tf:W$*$->V$* data da $^tf(\psi)(v)=\psi(fv)$ $\forall\psi\in W$*,$v\in V$)
$dx\wedge dy$ (prodotto esterno) è dato da $dx\wedge dy(v_1,v_2)=dx(v_1)dy(v_2)-dx(v_2)dy(v_1)$
credo che bisogna essere onesti con se stessi: non posso fare
superfici di riemann facendo contemporaneamente algebre di operatori,
equazioni alle derivate parziali, teoria delle rappresentazioni, teoria
di Lie e fisica matematica...
se pensi inoltre che per fare superfici di riemann mi serve variabile
complessa (che non so!! e le lezioni di M***i si accavallano con Alg.Op.),
topologia algebrica (di cui non so una virgola) e geometria differenziale
(di cui forse so giusto una virgola! maledetto corso di R****i: non abbiamo
fatto niente!!).
superfici di riemann facendo contemporaneamente algebre di operatori,
equazioni alle derivate parziali, teoria delle rappresentazioni, teoria
di Lie e fisica matematica...
se pensi inoltre che per fare superfici di riemann mi serve variabile
complessa (che non so!! e le lezioni di M***i si accavallano con Alg.Op.),
topologia algebrica (di cui non so una virgola) e geometria differenziale
(di cui forse so giusto una virgola! maledetto corso di R****i: non abbiamo
fatto niente!!).
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