$ (1-cos(1/n))((n!)/n^n)<(n!)/n^n $

[Plinio78]

Perché questa disuguaglianza è valida?

$ (1-cos(1/n))((n!)/n^n)<(n!)/n^n $

E questa?

$ arcsen^2(1/n)(n^2/3^n)
Io avrei invertito i segni...

[LLG GKV]

1)la prima è molto semplice: l'argomento del coseno è sempre compreso tra -1 e 1, dunque tra -p/2 e p/2 (p sta per p-greco), dunque il coseno è sempre maggiore di 0, ma contemporaneamente, esso non è mai 1 perché ciò significherebbe che 1/n=0. Dunque il primo termine è sempre positivo e minore di 1, quindi, moltiplicandolo per una funzione positiva f, darà un risultato sempre inferiore a tale funzione.
2) anche questa è molto semplice, infatti, l'arcseno di 1/n, essendo quello dei numeri reali un corpo ordinato e la funzione arcseno una funzione crescente tra 0 e p/2 e antisimmetrica rispetto l'origine, dovrà essere che il suo quadrato è simmetrico rispetto all'origine e crescente a destra, dunque, il maggiore "1/n" considerabile è anche un massimo assoluto nell'intervallo di cui stiamo trattando, ma tale "1/n" vale ovviamente 1, e il suo arcseno è p/4 che è ovviamente minore di 1, quindi sarà che anche il suo quadrato lo è, da cui, la disuguaglianza è vera per ogni funzione f positiva.