(0,1) ->(0,1) x (0,1)

[xXStephXx]

Per caso conoscete una funzione biunivoca da $(0,1) \rightarrow (0,1) \times (0,1)$?

[Epimenide93]

Posso dirti che esiste e che non è troppo difficile (oltre ad essere alquanto divertente ) da trovare...

Suggerimento

[xXStephXx]

Quella la sapevo, però se intendiamo la stessa cosa va da $[0,1] \rightarrow [0,1] \times [0,1]$ e non riesco ad adattarla ad intervalli aperti come invece vorrei.

[Epimenide93]

Io intendevo suggerire quella che si ottiene prendendo l'insieme \( \mathfrak{R}_I \) delle rappresentazioni decimali dei numeri reali (l'insieme a rappresentazione unica, nessuna rappresentazione è definitivamente uguale \( 9 \)) appartenenti all'intervallo \( (0,1) \) (in biezione con l'intervallo stesso) e ponendolo in biezione con \( \mathfrak{R}_I \times \mathfrak{R}_I \) così:

\[
f(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 \ldots a_n \ldots) = (a_1 a_3 a_5 \ldots a_{2n+1} \ldots \,, \ a_2 a_4 a_6 \ldots a_{2n} \ldots)
\]

[xXStephXx]

Sì Intendevo quella. Il problema è che non è biunivoca, perchè non puoi associare i numeri sul bordo. Come ad esempio $0.0909090909090...$

Probabilmente la funzione cercata è di tutt'altro tipo a meno che non si riesce a sistemare questa.

[Epimenide93]

Giusto... Qui viene dimostrato per "doppia iniezione", sfruttando l'inversa della funzione che ho proposto e l'iniezione naturale (inclusione); non so se sia possibile trovarne una esplicita