Z[i]/(3): interi di gauss

[Marytex]

Salve! ho un piccolo problema.
L'esercizio mi chiede di scrivere esplicitamente gli elementi di $ Z$ $/(3)$.
Io so che gli elementi devono essere $9 = N(3)$ e che sono nella forma $a+ib+(3)$ con $a,b in Z $. la mia domanda è: come si scrivono questi 9 elementi ?
per esempio ho trovato un esercizio che chiedeva gli elementi di $ Z$ $/(2)$ e dava come soluzione $ {(2),(2)+1,(2)+i,(2)+1+i} $ .. mi potete spiegare perchè e se ci sono dei calcoli da eseguire per trovarli?

Grazie mille.

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Se $a+ib+(3) = c+id+(3)$ allora $a+ib-(c+id) in (3)$, cioè esistono due interi $x$,$y$ tali che $a-c+i(b-d) = 3(x+iy)$ da cui (confrontando le parti reali e le parti immaginarie) $3$ divide $a-c$ e $b-d$, cioè modulo 3 si ha $a = c$ e $b = d$. Ne segue che per produrre i nove elementi del quoziente basta assegnare ad $a$ e $b$ ogni possibile classe resto modulo $3$, cioè avrai [tex]a,b \in \{0,1,2\}[/tex] in tutti i modi possibili.

[Marytex]

Grazie mille .. chiarissimo!!