Zermelo-Fraenkel e insiemi amorfi
Un insieme si dice amorfo se è infinito ma non è unione disgiunta di due insiemi infiniti.
Nel libro The Axiom of Choice di T. Jech viene presentato un modello di ZFA (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con atomi) in cui l'insieme A degli atomi è un insieme amorfo.
Vorrei sapere se esistono modelli di ZF (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel) in cui esistono insiemi amorfi. Qualcuno di voi ha per caso visto questo risultato da qualche parte?
Nel libro The Axiom of Choice di T. Jech viene presentato un modello di ZFA (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con atomi) in cui l'insieme A degli atomi è un insieme amorfo.
Vorrei sapere se esistono modelli di ZF (teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel) in cui esistono insiemi amorfi. Qualcuno di voi ha per caso visto questo risultato da qualche parte?
Risposte
Si, si, è consistente con ZF che esistano insiemi amorfi.
Non ne ho visto una dimostrazione ma l'ho letto.
Non ne ho visto una dimostrazione ma l'ho letto.
ZF + "esiste un insieme amorfo" è equiconsistente con ZF, questo si trova ad esempio su Wikipedia e già sarebbe interessante trovare qualche riferimento accessibile (la fonte che cita Wikipedia non è liberamente accessibile).
Immagino però che si intenda che (se ZF è consistente) ZF + "esiste un insieme amorfo" è consistente dal punto di vista sintattico, cioè che da ZF + "esiste un insieme amorfo" non si possano derivare contraddizioni.
Io vorrei capire se ZF + "esiste un insieme amorfo" è consistente anche dal punto di vista semantico, cioè se esiste un modello di ZF + "esiste un insieme amorfo".
Inizialmente avevo pensato che la consistenza sintattica implica quella semantica ma per dimostrarlo serve l'assioma della scelta; se però assumiamo l'assioma della scelta gli insiemi amorfi non possono esistere.
Immagino però che si intenda che (se ZF è consistente) ZF + "esiste un insieme amorfo" è consistente dal punto di vista sintattico, cioè che da ZF + "esiste un insieme amorfo" non si possano derivare contraddizioni.
Io vorrei capire se ZF + "esiste un insieme amorfo" è consistente anche dal punto di vista semantico, cioè se esiste un modello di ZF + "esiste un insieme amorfo".
Inizialmente avevo pensato che la consistenza sintattica implica quella semantica ma per dimostrarlo serve l'assioma della scelta; se però assumiamo l'assioma della scelta gli insiemi amorfi non possono esistere.
Eh sono domande difficili, io non ho approfondito così tanto questi argomenti quindi non ti so aiutare oltre.
Sarei interessato anche a capire perchè ZFC + "esiste un insieme amorfo" non è consistente, cioè a capire in che modo l'assioma della scelta impedisce l'esistenza di insiemi amorfi.
Perchè se hai un insieme infinito $X$ puoi prendere una successione $a_n\inX$, a quel punto ${a_(2n)|n\inNN}$ è un insieme infinito con complementare infinito.
Basta anche l'assioma della scelta dipendente per questo (DC).
Basta anche l'assioma della scelta dipendente per questo (DC).
Sottointendi che la successione $a_n \in X$ è iniettiva giusto?
E a questo punto sarebbe addirittura sufficiente l'assioma della scelta numerabile per mostrare con il tuo stesso argomento che non possono esistere insiemi amorfi, no?
E a questo punto sarebbe addirittura sufficiente l'assioma della scelta numerabile per mostrare con il tuo stesso argomento che non possono esistere insiemi amorfi, no?
Sì mi sono dimenticato di specificarlo.
In realtà mi sa che non basta l'assioma della scelta numerabile.
In realtà mi sa che non basta l'assioma della scelta numerabile.
Perchè non basta l'assioma di scelta numerabile? Tutto quello che ci serve è costruire una successione iniettiva di elementi $a_n$ di $X$, ovvero una funzione $f:NN->X,f(n)=a_n$.
E basta l'assioma della scelta numerabile?
Beh per costruire una successione $f:NN->X$ direi di si, non so se per fare in modo che sia iniettiva serva qualcosa in più...
Beh per quello basta che $X$ sia non vuoto, non c'è nemmeno bisogno dell'assioma della scelta numerabile.
Perchè?
Basta che prendi una successione costante.
Ma con l'assioma della scelta numerabile non posso costruire la successione iniettiva degli $a_n$ che hai usato tu per mostrare che non possono esistere insiemi amorfi?
Non saprei come, se hai qualche idea proponi.
L'assioma della scelta ci dice che data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.
Dunque possiamo pensare ad una famiglia di indici $I$ non vuota e dire che se abbiamo una famiglia di insiemi non vuoti $(x_i)_{i \in I}$ esiste una funzione $f:I->\bigcup_{i \in I}X_i$ tale che $f(i) \in X_i$ per ogni $i \in I$.
In particolare ponendo $X_i=X$ per ogni $i \in I$ ottengo che esiste una funzione $f:I->X$.
Non saprei come provare che esiste una funzione iniettiva $f:I->X$.
Se al posto dell'assioma della scelta assumiamo l'assioma della scelta numerabile, l'unica cosa che cambia è che l'insieme $I$ deve essere numerabile, ma visto che noi vogliamo costruire una successione $(a_n)_{n \in NN}$ questo non dovrebbe creare problemi.
Rimane, come nel caso dell'assioma della scelta, il problema di come provare che esiste una successione iniettiva $(a_n)_{n \in NN}$.
Cosa ne pensi?
Dunque possiamo pensare ad una famiglia di indici $I$ non vuota e dire che se abbiamo una famiglia di insiemi non vuoti $(x_i)_{i \in I}$ esiste una funzione $f:I->\bigcup_{i \in I}X_i$ tale che $f(i) \in X_i$ per ogni $i \in I$.
In particolare ponendo $X_i=X$ per ogni $i \in I$ ottengo che esiste una funzione $f:I->X$.
Non saprei come provare che esiste una funzione iniettiva $f:I->X$.
Se al posto dell'assioma della scelta assumiamo l'assioma della scelta numerabile, l'unica cosa che cambia è che l'insieme $I$ deve essere numerabile, ma visto che noi vogliamo costruire una successione $(a_n)_{n \in NN}$ questo non dovrebbe creare problemi.
Rimane, come nel caso dell'assioma della scelta, il problema di come provare che esiste una successione iniettiva $(a_n)_{n \in NN}$.
Cosa ne pensi?
Non so bene come si fa a prenderla iniettiva.
"otta96":
Non so bene come si fa a prenderla iniettiva.
Qual è la vostra definizione di insieme infinito?
La definizione di finitezza che considero standard è che l'insieme $X$ è finito se è costituito da esattamente $n$ elementi, dove $n$ è un numero naturale.
Se però assumiamo l'assioma della scelta vi sono molte altre definizioni di finitezza che sono equivalenti a quella standard (si veda ad esempio qui).
Dico che un insieme è infinito se non è finito.
Se però assumiamo l'assioma della scelta vi sono molte altre definizioni di finitezza che sono equivalenti a quella standard (si veda ad esempio qui).
Dico che un insieme è infinito se non è finito.
Idem sulla definizione di insieme infinito.
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