$Z_n$ e orologio: idee per costruire un sistema numerico
Ciao, mi è stato proposto il seguente giochino: quanti numeri ci sono tra 1956 e 2009? Ovviamente la prima risposta è 53. Al che chi ti fa il gioco dice "sicuro che non siano 13"? Dopo che mi sono scervellato qualche minuto ho capito che bisognava vedere i due numeri come i due orari 19:56 e 20:09, tra i quali intercorrono 13 minuti.
Dopo esseremi complimentato per il giochino, ho provato a formalizzare il discorso, cioè a costruire un sistema numerico in cui 20:09 - 19:56 = 13.
Ho subito pensato agli $Z_n$ che ben rappresentano il calcolo su un sistema numerico circolare (e in particolare su un orologio).
$Z_{24}$ è il sistema in cui contare le ore, mentre $Z_{60}$ è il sistema in cui contare i minuti. A questo punto ho provato a combinare questi due sistemi (ho considerato $Z_{24}xZ_{60}$ e $(Z_{60})^{24}$), ma non sono riuscito ad ottenere il risultato sperato in nessun modo.
Avete qualche idea?
Un'idea intuitiva da provare a formalizzare potrebbe essere la seguente: così come $Z_n$ è rappresentato da n numeri posti su una circonferenza, il sistema che vorrei costruire dovrebbe essere rappresentabile con 24 circonferenze consecutive (le ore), ciascuna composta da 60 numeri (i minuti), disposte lungo una circonferenza più grande.
Spero di essere riuscito a spiegarmi.
Grazie a chiunque mi darà una mano a soddisfare questa curiosità.
Dopo esseremi complimentato per il giochino, ho provato a formalizzare il discorso, cioè a costruire un sistema numerico in cui 20:09 - 19:56 = 13.
Ho subito pensato agli $Z_n$ che ben rappresentano il calcolo su un sistema numerico circolare (e in particolare su un orologio).
$Z_{24}$ è il sistema in cui contare le ore, mentre $Z_{60}$ è il sistema in cui contare i minuti. A questo punto ho provato a combinare questi due sistemi (ho considerato $Z_{24}xZ_{60}$ e $(Z_{60})^{24}$), ma non sono riuscito ad ottenere il risultato sperato in nessun modo.
Avete qualche idea?
Un'idea intuitiva da provare a formalizzare potrebbe essere la seguente: così come $Z_n$ è rappresentato da n numeri posti su una circonferenza, il sistema che vorrei costruire dovrebbe essere rappresentabile con 24 circonferenze consecutive (le ore), ciascuna composta da 60 numeri (i minuti), disposte lungo una circonferenza più grande.
Spero di essere riuscito a spiegarmi.
Grazie a chiunque mi darà una mano a soddisfare questa curiosità.
Risposte
2006 - 1956 = 53 ? 
e tra le 19:56 e le 20:06 passano 13 minuti ?
e tra le 19:56 e le 20:06 passano 13 minuti ?
Vabbè, forse voleva scrivere 2009... 
Ho corretto il post.. intendevo 2009..
Io ho cercato una soluzione che sia comoda, e ho trovato, con un po' di formalismo:
siano $(x,y), (x',y') in ZZ_24 xx ZZ_60$ , presi $(x,y)$ e $(x',y')$ in modo che l'ora rappresentata da $(x,y)$ sia "maggiore" di quella di $(x',y')$
definiamo l'operazione "quanti minuti tra un'ora e l'altra, chiamiamola $\Delta$ che mi ispira:
$\Delta$:
si consideri $t =\{(0 if y>=y'),(1 if y
ho fatto altri tentativi, questo mi pare il migliore perchè fissato $t$, operazione molto semplice, dà una formula generale e rapida.
una volta capito il meccanismo, è una cosa molto banale: si tratta di considerare il "riporto" tra le ore, che è $t$
siano $(x,y), (x',y') in ZZ_24 xx ZZ_60$ , presi $(x,y)$ e $(x',y')$ in modo che l'ora rappresentata da $(x,y)$ sia "maggiore" di quella di $(x',y')$
definiamo l'operazione "quanti minuti tra un'ora e l'altra, chiamiamola $\Delta$ che mi ispira:
$\Delta$:
si consideri $t =\{(0 if y>=y'),(1 if y
ho fatto altri tentativi, questo mi pare il migliore perchè fissato $t$, operazione molto semplice, dà una formula generale e rapida.
una volta capito il meccanismo, è una cosa molto banale: si tratta di considerare il "riporto" tra le ore, che è $t$
Grazie! Molto gentile. Ho fatto un po' di prove numeriche: funziona e credo di avere capito il meccanismo.
Formalmente il 60t non è necessario perchè 60t=0 in $Z_{60}$, anche se permette di avere un risultato più "comodo" e immediato.
Hai detto che hai fatto anche altri tentativi: sei rimasto sempre in $Z_{24}xZ_{60}$ definendo una nuova operazione al posto del meno ordinario? O hai anche provato a ragionare in un insieme diverso?
Te lo chiedo perchè continuo ad avere l'idea che lo spazio "naturale" in cui fare questi conti dovrebbe essere formato da 24 circonferenze (di 60 step l'una), disposte lungo una circonferenza più grande. Non potendo fare disegni, provo a fartelo immaginare come il percorso che fa un punto P fissato su una ruota di una bicicletta quando la bici compie un giro lungo la circonferenza grande. Questo punto P conterebbe proprio il passare del tempo: ogni step è un minuto, ogni circonferenza piccola (formata di 60 step) è un'ora, la circonferenza grande (formata di 24 circonferenze piccole) è 1 giorno.
Formalmente il 60t non è necessario perchè 60t=0 in $Z_{60}$, anche se permette di avere un risultato più "comodo" e immediato.
Hai detto che hai fatto anche altri tentativi: sei rimasto sempre in $Z_{24}xZ_{60}$ definendo una nuova operazione al posto del meno ordinario? O hai anche provato a ragionare in un insieme diverso?
Te lo chiedo perchè continuo ad avere l'idea che lo spazio "naturale" in cui fare questi conti dovrebbe essere formato da 24 circonferenze (di 60 step l'una), disposte lungo una circonferenza più grande. Non potendo fare disegni, provo a fartelo immaginare come il percorso che fa un punto P fissato su una ruota di una bicicletta quando la bici compie un giro lungo la circonferenza grande. Questo punto P conterebbe proprio il passare del tempo: ogni step è un minuto, ogni circonferenza piccola (formata di 60 step) è un'ora, la circonferenza grande (formata di 24 circonferenze piccole) è 1 giorno.
Esattamente, la funzione di $60t$ è proprio quella , perchè noi vogliamo un risultato in ore che sia positivo, l'algoritmo così è un poco più comodo. 
è interessante l'idea delle ruote, a livello visivo molto affascinante, sarebbe carino costruire un orologio così formato!
però formalizzando il problema si cade in una soluzione alquanto deprimente
$(x,y)$ e $(x',y')$ come al solito sono le ore.
definiamo $\delta$, che ci dice quanto tempo è passato tra un'ora e l'altra (intesa la prima come successiva):
primo passo: $60*([x-x']_24)+(y-y')=D$
secondo passo: si effettua la divisione euclidea (divisione con resto) $D$$/$$60$ che dà $D=60*Q + R$
$(x,y)\delta(x',y')=(Q,R)$
in pratica consiste nel contare i minuti e poi passarli in ore.
un esempio chiarificatore: $(13.28)\delta(11.50)$
sono passati $60*(13-11)+(28-50)=60*2-22=98$ minuti
che corrispondono a $60*1+38=(1,38)$ ovvero 1h 38 min.
è interessante l'idea delle ruote, a livello visivo molto affascinante, sarebbe carino costruire un orologio così formato!
però formalizzando il problema si cade in una soluzione alquanto deprimente
$(x,y)$ e $(x',y')$ come al solito sono le ore.
definiamo $\delta$, che ci dice quanto tempo è passato tra un'ora e l'altra (intesa la prima come successiva):
primo passo: $60*([x-x']_24)+(y-y')=D$
secondo passo: si effettua la divisione euclidea (divisione con resto) $D$$/$$60$ che dà $D=60*Q + R$
$(x,y)\delta(x',y')=(Q,R)$
in pratica consiste nel contare i minuti e poi passarli in ore.
un esempio chiarificatore: $(13.28)\delta(11.50)$
sono passati $60*(13-11)+(28-50)=60*2-22=98$ minuti
che corrispondono a $60*1+38=(1,38)$ ovvero 1h 38 min.
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