$x^p + y^p <= (x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$

[Edex1]

Salve a tutti,
stavo cercando di dimostrare la catena di disequazioni:
$x^p + y^p <= (x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$
$AA x >= 0, y >= 0, p > 1$
qualcuno può dirmi se ho dimostrato il tutto in modo corretto?

Partiamo dalla prima: $x^p + y^p <= (x+y)^p$
Verifico il passo base: per $x = 0, y = 0, p = 1$ abbiamo $ 0 <= 0$ quindi è verificata.
Procedo per induzione:
$x^p + y ^p <= (x+y)^p rarr (x^p + y^p) cdot (x+y) <= (x+y)^(p+1)$
Il primo termine però è:
$x^(p+1) + y^(p+1) + yx^p + xy^p >= x^(p+1) + y^(p+1) rarr x^(p+1) + y^(p+1) <= (x+y)^(p+1)$
Ed è quindi verificato il passo induttivo.

Passiamo ora alla seconda $(x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$
Verifico il passo base: per $x = 0, y = 0, p = 1$ abbiamo $ 0 <= 0$ quindi è verificata.
Procedo per induzione:
$(x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p) rarr (x+y)^(p+1) <= 2^(p-1) (x^p + y^p)(x+y)$
Ora basta quindi dimostrare che:
$2^(p-1) (x^p + y^p)(x+y) <= 2^p (x^(p+1) + y^(p+1)) rarr (x^p + y^p)(x+y) <= 2(x^(p+1) + y^(p+1)) rarr$
$rarr xy^p + yx^p <= x^(p+1) + y^(p+1)$
Dividendo tutto per $y^(p+1)$ si ha:
$x/y + (x/y)^p <= (x+y)^(p+1) + 1 rarr (x/y)^p(x/y-1) >= x/y - 1$
Se:
$x/y - 1 >= 0$ posso dividere senza cambiare il verso della disuguaglianza ottenendo $x/y >= 1$ che è vero perchè ho supposto: $x/y - 1 >= 0$
Se:
$x/y - 1 <= 0$ devo cambiare di segno dividendo e ottengo: $x/y <= 1$ che è vero perchè ho supposto $x/y - 1 <= 0$
Perciò:
$(x/y)^p(x/y-1) >= x/y - 1$
E' sempre verificata e quindi, facendo le trasformazioni a ritroso, anche:
$2^(p-1) (x^p + y^p)(x+y) <= 2^p (x^(p+1) + y^(p+1))$
E' sempre verificata.
Ne segue quindi che:
$(x+y)^(p+1) <= 2^p (x^(p+1) + y^(p+1))$
Ed è quindi verificato anche il passo induttivo.

Fila tutto?

[donald_zeka]

Penso vada bene, solo che il passo finale io l'avrei dimostrato in modo diverso, ossia:
Dimostrare che : x*y^p + y*x^p <= x^(p+1) + y^(p+1)
Assumendo senza perdere generalità che x>=y si ha:

x*y^p + y*x^p <= x*x^p + y*y^p

x*x^p + y*y^p - x*y^p - y*x^p >= 0

x^p(x-y) +y^p(y-x) >= 0

x^p(x-y) >= -y^P(y-x)

poichè x>=Y ------>

x^p(x-y)>= y^p(x-y)

x^P>=y^P

QED