$x=p_1...p_s|y^k$ se e solo se $p_i|y,\ \forall i$
Buongiorno ragazzi. Come dimostro questa equivalenza?
Se $x,y$ sono due interi, $k>1$ pure, allora:
\[x\,\text{divide}\, y^k \iff \text{ogni fattore primo di}\, x\, \text{divide}\,y\]
La $(\implies)$ mi sembra semplice; se $x=p_1\cdots p_s$
\[x|y^k\implies p_i|y^k\implies p_i|y\]
Come procedereste per l'altra implicazione?
Se $x,y$ sono due interi, $k>1$ pure, allora:
\[x\,\text{divide}\, y^k \iff \text{ogni fattore primo di}\, x\, \text{divide}\,y\]
La $(\implies)$ mi sembra semplice; se $x=p_1\cdots p_s$
\[x|y^k\implies p_i|y^k\implies p_i|y\]
Come procedereste per l'altra implicazione?
Risposte
Ciao, provo io 
Dalle ipotesi sai che ogni fattore primo di $x$ divide $y$, quindi presi $p_i, p_j$ hai che $\exists h, k \in \mathbb{Z}$ tali che $y = p_i * h= p_j * k$ dato che $p_i$ non divide $p_j$ perché sono primi tra loro allora necessariamente $p_i$ divide $k$, quindi $y = p_i*p_j*s, s \in \mathbb{Z}$, ripetendo il ragionamento per ogni fattore primo di $x$ ottieni che $y = x*m, \mathbb{Z}$. Quindi $y^k = x^k*m^k \Rightarrow x | y^k$.
Si può formalizzare meglio con l'induzione sul numero di fattori primi di $x$, credo.
Spero di non aver scritto sciocchezze
ciao!
Dalle ipotesi sai che ogni fattore primo di $x$ divide $y$, quindi presi $p_i, p_j$ hai che $\exists h, k \in \mathbb{Z}$ tali che $y = p_i * h= p_j * k$ dato che $p_i$ non divide $p_j$ perché sono primi tra loro allora necessariamente $p_i$ divide $k$, quindi $y = p_i*p_j*s, s \in \mathbb{Z}$, ripetendo il ragionamento per ogni fattore primo di $x$ ottieni che $y = x*m, \mathbb{Z}$. Quindi $y^k = x^k*m^k \Rightarrow x | y^k$.
Si può formalizzare meglio con l'induzione sul numero di fattori primi di $x$, credo.
Spero di non aver scritto sciocchezze
ciao!
Non credo che la \( \Leftarrow \) sia vera.
Controesempio: $x=24$, $y=6$, $k=2$
(i fattori primi di $x$ sono $2$ e $3$. Sia $2$ che $3$ dividono $y$, ma $x$ non divide $y^2=36$).
Controesempio: $x=24$, $y=6$, $k=2$
(i fattori primi di $x$ sono $2$ e $3$. Sia $2$ che $3$ dividono $y$, ma $x$ non divide $y^2=36$).
Credo che manchi un quantificatore, "per qualche $k$".
Salve ragazzi, vi ringrazio.
Dall'esempio di Gi8 deduco che probabilmente ho sbagliato l'enunciato. E se, come dice Martino, l'enunciato fosse
\[x\, \text{divide}\, y^k\, \text{per qualche}\, k\iff \text{ogni fattore primo di}\, x\, \text{divide}\, y\]
sarebbe vera la $(Leftarrow)$?
EDIT. Pensandoci, mi pare che sia vero: $k$ è il numero di primi (non necessariamente distinti) di $x$. Siete d'accordo?
Dall'esempio di Gi8 deduco che probabilmente ho sbagliato l'enunciato. E se, come dice Martino, l'enunciato fosse
\[x\, \text{divide}\, y^k\, \text{per qualche}\, k\iff \text{ogni fattore primo di}\, x\, \text{divide}\, y\]
sarebbe vera la $(Leftarrow)$?
EDIT. Pensandoci, mi pare che sia vero: $k$ è il numero di primi (non necessariamente distinti) di $x$. Siete d'accordo?
Sia $k=\max{\alpha_1, \cdots, \alpha_n}$ il massimo fra gli esponenti presenti nella scomposizione a fattori primi di $x$, esempio $x=2^3\cdot3^6\cdot 5^4$, $k=6=\max{3,4,6}$, usando l'ipotesi si arriva a far vedere che $y^k$ è divisibile per $x$.
Ciao dan95, grazie anche a te. Hai ragione tu, ho scritto una fesseria 
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