$x^6+1$ irriducibile o riducibile in $\mathbb{Z}_3[x]$?
Ciao a tutti.
Dovrei dire se $x^6+10$ è irriducibile o meno in $\mathbb{Z}_3[x]$ e nel caso fosse riducibile bisogna esibire la fattorizzazione nel prodotto di polinomi irriducibili.
Sicuramente non ha radici in $\mathbb{Z}_3$ quindi o si scompone come prodotto di due polinomi di terzo grado o come prodotto di 3 polinomi di secondo grado.
Se mi mettessi a fare il conto, i polinomi si possono prendere ovviamente monici e i termini noti nel primo caso possono essere entrambi 1 o entrambi 2 (perché $2^2=1$ mod(3)).
Mi chiedevo se ci fosse un metodo più furbo o qualche buona osservazione che potesse risparmiarmi tutto il conto.
Dovrei dire se $x^6+10$ è irriducibile o meno in $\mathbb{Z}_3[x]$ e nel caso fosse riducibile bisogna esibire la fattorizzazione nel prodotto di polinomi irriducibili.
Sicuramente non ha radici in $\mathbb{Z}_3$ quindi o si scompone come prodotto di due polinomi di terzo grado o come prodotto di 3 polinomi di secondo grado.
Se mi mettessi a fare il conto, i polinomi si possono prendere ovviamente monici e i termini noti nel primo caso possono essere entrambi 1 o entrambi 2 (perché $2^2=1$ mod(3)).
Mi chiedevo se ci fosse un metodo più furbo o qualche buona osservazione che potesse risparmiarmi tutto il conto.
Risposte
$x^6+1=x^6+3x^4+3x^2+1=...$
ok sono un babbo....Bastava usare quello che hai detto..cioé il piccolo teorema di Fermat con $p=3$,e quindi viene $(x^2+1)^3$.
Grazie !
Grazie !
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