$x^2-y^2=p^2$ Diofantea
Per principianti:
Mostrare che esistono infinite terne $x,y,p$ positivi interi t.c.
$x^2-y^2=p^2$ con $p$ primo.
In che forma sono tali terne?
Risolto dopo essermi stato proposto da un collega durante la lezione di Analisi.
Mostrare che esistono infinite terne $x,y,p$ positivi interi t.c.
$x^2-y^2=p^2$ con $p$ primo.
In che forma sono tali terne?
Risolto dopo essermi stato proposto da un collega durante la lezione di Analisi.
Risposte
"Enrico84":
le terne sono della forma $(p,0,p)$
E' chiaro che le terne sono infinite perchè i numeri primi sono infiniti
Va bene il ragionamento, o no?
No
Ho detto interi positivi.
Lo zero non è positivo.
Le terne non sono in quella forma.
Edit: perchè hai cancellato?
Ho cancellato perchè me ne sono reso conto già io di quello che mi hai detto tu!
Mi era sfuggito Interi positivi; era poi banale se mancava l'ipotesi di interi positivi, o no?
$x^2-y^2=p^2$
equivale a
$x^2=p^2+y^2$
$x,p,y$
$y$ e $p$ sono i cateti $x$ è l'ipotenusa $x,p,y$ sono tutte terne pitagoriche con un cateto primo.
fino a qui si può dedurre solo che esistono infinite terne di interi perché o infinite combinazioni lineari di $x,p,y$
cioè se $x,p,y$ è una terna pitagorica lo è anche $\alphax,\alphap,\alphay$ per ogni $\alpha$ intero.
ora manca la parte relativa a infiniti primi che spero di postare prima possibile.
equivale a
$x^2=p^2+y^2$
$x,p,y$
$y$ e $p$ sono i cateti $x$ è l'ipotenusa $x,p,y$ sono tutte terne pitagoriche con un cateto primo.
fino a qui si può dedurre solo che esistono infinite terne di interi perché o infinite combinazioni lineari di $x,p,y$
cioè se $x,p,y$ è una terna pitagorica lo è anche $\alphax,\alphap,\alphay$ per ogni $\alpha$ intero.
ora manca la parte relativa a infiniti primi che spero di postare prima possibile.
"krek":
cioè se $x,p,y$ è una terna pitagorica lo è anche $\alphax,\alphap,\alphay$ per ogni $\alpha$ intero.
ora manca la parte relativa a infiniti primi che spero di postare prima possibile.
Attenzione: la terna
$(alphax,alphay,alphap)$
non va bene, perchè $alphap$ non è più primo.
Ciao.
forse sono stato poco chiaro, ma tu hai quotato parzialmente quello che ho scritto tagliando proprio la parte centrale del discorso.
Se quoti tutto ti accorgi che la tua osservazione è superflua.
Ciao
Se quoti tutto ti accorgi che la tua osservazione è superflua.
Ciao
1)Hai supposto l'esistenza di una soluzione, senza portarne una
2)Occorre dimostrare che esistono infinite terne in cui un cateto è primo.
Nel tuo modo si dimostra che esistono infinite terne (ammesso che ce ne è una originaria) con un cateto multiplo di un primo.
Non ho capito quindi cosa aggiunge il seguito del tuo discorso.
Ciao.
2)Occorre dimostrare che esistono infinite terne in cui un cateto è primo.
Nel tuo modo si dimostra che esistono infinite terne (ammesso che ce ne è una originaria) con un cateto multiplo di un primo.
Non ho capito quindi cosa aggiunge il seguito del tuo discorso.
Ciao.
scusate se m'intrometto in questa discussione.
dal discorso di krek si capisce che stava facendo una riflessione con se stesso e si è reso conto da solo di essere lontano dalla soluzione.
però ha ritenuto superfuo, credo, citare qualche esempio, perché è banale: sono terne pitagoriche con il numero più piccolo oppure il numero intermedio primo.
se già uno pensa a 3, 4, 5, ecco citato un esempio! (anche 5, 12, 13).
certo però non è banale passare dall'esistenza di almeno una terna all'esistenza di infinite terne.
per chi volesse tentare senza leggere la mia soluzione in spoiler consiglio di rileggere attentamente il post iniziale, in cui steven ha "elargito" un indizio.
ciao.
dal discorso di krek si capisce che stava facendo una riflessione con se stesso e si è reso conto da solo di essere lontano dalla soluzione.
però ha ritenuto superfuo, credo, citare qualche esempio, perché è banale: sono terne pitagoriche con il numero più piccolo oppure il numero intermedio primo.
se già uno pensa a 3, 4, 5, ecco citato un esempio! (anche 5, 12, 13).
certo però non è banale passare dall'esistenza di almeno una terna all'esistenza di infinite terne.
per chi volesse tentare senza leggere la mia soluzione in spoiler consiglio di rileggere attentamente il post iniziale, in cui steven ha "elargito" un indizio.
ciao.
@ Steven
ci ho riprovato,
$x^2-y^2=p^2$; adesso esprimo x,y,p in funzione di un intero positivo z, e più precisamente $x=z^2+1$, $y=2z$, $p=z^2-1$ (con z diverso da 1 altrimenti p=o)
sostituendo nell'equazione di partenza ho che $(z^2+1)^2-(2z)^2=(z^2-1)^2$ e cioè $z^4+1+2z^2-4z^2=z^4-2z^2+1$ che è una identità.
Il problema rimane sempre su $p$ e cioè bisognerebbe provare che esistono infiniti interi positivi z tali da rendere $p$ un numero primo; sei d'accordo?
Cosa ne pensi?
ci ho riprovato,
$x^2-y^2=p^2$; adesso esprimo x,y,p in funzione di un intero positivo z, e più precisamente $x=z^2+1$, $y=2z$, $p=z^2-1$ (con z diverso da 1 altrimenti p=o)
sostituendo nell'equazione di partenza ho che $(z^2+1)^2-(2z)^2=(z^2-1)^2$ e cioè $z^4+1+2z^2-4z^2=z^4-2z^2+1$ che è una identità.
Il problema rimane sempre su $p$ e cioè bisognerebbe provare che esistono infiniti interi positivi z tali da rendere $p$ un numero primo; sei d'accordo?
Cosa ne pensi?
3 4 5 è una terna pitagorica?
mi sembrava parecchio banale scrivere
$p=3$
$5^2 = 4^2 + 3^2$
ho scritto anche che ho solo detto che esistono infinite terne di interi.
non ho mai detto che sono infinite terne di interi primi o infinite terne con un cateto primo.
3 4 5 è una terna pitagorica?
mi sembrava parecchio banale scrivere
$p=3$
$5^2 = 4^2 + 3^2$
ho solo verificato che esistono + soluzioni.
Cosa vuoi che dimostri che solo le terne pitagoriche danno $x^2=p^2+y^2$ con $x,p,y$ interi positivi?
ho specificato che posso essermi spiegato male riferendomi a
....ora manca la parte relativa a infiniti primi che spero di postare prima possibile.
con ciò intendevo dire che devo dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche $x,y,p$ con $p$ primo
il resto non cambia perché mi dici di stare attento che $\alphap$ non è primo ? quando io stesso dico che ho solo visto che esistono infinite terne?
Poi se quoti qualcosa, quotalo tutto non quotarne un pezzo.
Ho applicato solo un teorema e la definizione di terna pitagorica.
Te quando applichi un teorema lo ridimostri tutte le volte?
mi sembrava parecchio banale scrivere
$p=3$
$5^2 = 4^2 + 3^2$
ho scritto anche che ho solo detto che esistono infinite terne di interi.
non ho mai detto che sono infinite terne di interi primi o infinite terne con un cateto primo.
"krek":
fino a qui si può dedurre solo che esistono infinite terne di interi perché o infinite combinazioni lineari di $x,p,y$
3 4 5 è una terna pitagorica?
mi sembrava parecchio banale scrivere
$p=3$
$5^2 = 4^2 + 3^2$
ho solo verificato che esistono + soluzioni.
Cosa vuoi che dimostri che solo le terne pitagoriche danno $x^2=p^2+y^2$ con $x,p,y$ interi positivi?
ho specificato che posso essermi spiegato male riferendomi a
....ora manca la parte relativa a infiniti primi che spero di postare prima possibile.
con ciò intendevo dire che devo dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche $x,y,p$ con $p$ primo
il resto non cambia perché mi dici di stare attento che $\alphap$ non è primo ? quando io stesso dico che ho solo visto che esistono infinite terne?
Poi se quoti qualcosa, quotalo tutto non quotarne un pezzo.
Ho applicato solo un teorema e la definizione di terna pitagorica.
Te quando applichi un teorema lo ridimostri tutte le volte?
con ciò intendevo dire che devo dimostrare che esistono infinite terne pitagoriche $x,y,p$ con $p$ primo
Insomma, è il problema che ho dato io, paro paro.
Non volermene, ma quello che hai detto tu serve a ben poco ai fini del problema.
Enrico84: il tuo ragionamento è giusto, ma purtroppo DEVO dirti che non esistono affatto infiniti prima nella forma $z^2-1$.
Anzi, l'unico primo in quella forma è $3$.
Se vuoi te lo dimostro, altrimenti provaci tu.
Il mio procedimento è uguale a quello di adaBTTLS.
Ciao.
non ho provato, cmq qualcuno dotato di tempo libero potrebbe anche divertirsi cercare di trovarle tutte le soluzioni... non sembra così difficile 
$x^2=p^2+y^2$
x,y,p è una terna pitagorica
quindi ho
$a,b in NN, a>b, b>0
$x=a^2+b^2$
$y=2ab$
$p=a^2-b^2$
pongo $b=a-1$
$p=a^2-(a-1)^2$
$p=a^2-a^2+2a-1$
$p=2a-1$ (p è un numero dispari)
$a=(p+1)/2$
segue
$b=(p+1)/2-1
$b=(p-1)/2
quindi sostituendo $a$ e $b$ ho
$x=(p^2+1)/2$
$y=(p^2-1)/2$
quindi ho
che per ogni $p$ dispari x,y,p sono interi che soddisfano $x^2=p^2+y^2$
Se p è un primo maggiore di 2 ho anche p dispari e quindi
per ogni $p$ primo esiste una coppia di $x,y$ di interi positivi tali che $x^2=p^2+y^2$
Ho saltato qualche passaggio che non influisce nella dimostrazione.
poi se mai posto tutto ma credo che l'essenziale ci sia.
Se ho fatto qualche errore può essere che abbia ricopiato male dal quello che ho scritto a lapis su un foglio.
x,y,p è una terna pitagorica
quindi ho
$a,b in NN, a>b, b>0
$x=a^2+b^2$
$y=2ab$
$p=a^2-b^2$
pongo $b=a-1$
$p=a^2-(a-1)^2$
$p=a^2-a^2+2a-1$
$p=2a-1$ (p è un numero dispari)
$a=(p+1)/2$
segue
$b=(p+1)/2-1
$b=(p-1)/2
quindi sostituendo $a$ e $b$ ho
$x=(p^2+1)/2$
$y=(p^2-1)/2$
quindi ho
che per ogni $p$ dispari x,y,p sono interi che soddisfano $x^2=p^2+y^2$
Se p è un primo maggiore di 2 ho anche p dispari e quindi
per ogni $p$ primo esiste una coppia di $x,y$ di interi positivi tali che $x^2=p^2+y^2$
Ho saltato qualche passaggio che non influisce nella dimostrazione.
poi se mai posto tutto ma credo che l'essenziale ci sia.
Se ho fatto qualche errore può essere che abbia ricopiato male dal quello che ho scritto a lapis su un foglio.
Sì, è la stessa terna che ho ottenuto anche io (in funzione di $p$).
Che poi è il procedimento di adaBTTLS, in altri termini.
Ciao, e scusa per l'incomprensione.
Che poi è il procedimento di adaBTTLS, in altri termini.
Ciao, e scusa per l'incomprensione.
"Steven":
Enrico84: il tuo ragionamento è giusto, ma purtroppo DEVO dirti che non esistono affatto infiniti prima nella forma $z^2-1$.
Anzi, l'unico primo in quella forma è $3$.
Se vuoi te lo dimostro, altrimenti provaci tu.
Ciao.
Si ci ho provato...
$z^2-1=(z+1)(z-1)$; perchè questo numero sia primo deve accadere che uno dei fattori (il primo o il secondo) sia uguale ad 1 e l'altro sia proprio uguale a $z^2-1$; (definizione di numero primo), i due casi possibili quindi sono:
$\{(z+1=1),(z-1=z^2-1):}$
$\{(z-1=1),(z+1=z^2-1):}$
il primo sistema ha come soluzione $z=0$ (da scartare), il secondo ha come unica soluzione $z=2$.
(E quindi come hai detto tu l'unico primo in quella forma è 3!)
Era così che me lo volevi dimostrare, o in un altro modo?
Ciao
Giusto, così volevo farlo.
In realtà potevi evitare il primo sistema, notando che $z-1$ è sempre minore di $z+1$, quindi deve per forza essere lui $1$, da cui $z=2$ e $p=3$.
Ciao.
In realtà potevi evitare il primo sistema, notando che $z-1$ è sempre minore di $z+1$, quindi deve per forza essere lui $1$, da cui $z=2$ e $p=3$.
Ciao.
Se posso, utile è anche vederla come:
$x^2-y^2=p^2$
$(x-y)(x+y)=p^2$
Da cui necessariamente le soluzioni sono date da:
$s_1: {(x-y=p^2),(x+y=1):}$
$s_2: {(x-y=p),(x+y=p):}$
$s_3: {(x-y=1),(x+y=p^2):}
E poi si risolvono i sistemi vari e si discute la soluzione:
$s_1: {(x=(p^2+1)/2),(y=(1-p^2)/2):}$ non accettabile!
$s_2: {(x=0),(y=p):}$ non accettabile!
$s_3: {(x=(p^2+1)/2),(y=(p^2-1)/2):}$ unica accettabile!
$x^2-y^2=p^2$
$(x-y)(x+y)=p^2$
Da cui necessariamente le soluzioni sono date da:
$s_1: {(x-y=p^2),(x+y=1):}$
$s_2: {(x-y=p),(x+y=p):}$
$s_3: {(x-y=1),(x+y=p^2):}
E poi si risolvono i sistemi vari e si discute la soluzione:
$s_1: {(x=(p^2+1)/2),(y=(1-p^2)/2):}$ non accettabile!
$s_2: {(x=0),(y=p):}$ non accettabile!
$s_3: {(x=(p^2+1)/2),(y=(p^2-1)/2):}$ unica accettabile!
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