\(X\) è trascendente su \( \mathbb{Q}\) ?

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sia \(s= \frac{X^3+2}{X} \in \mathbb{Q}(X) \). Consideriamo \( \mathbb{Q}(s) \) il più piccolo sotto campo di \( \mathbb{Q}(X) \) contenenete \(s\) (da non confondere con il campo delle frazioni razionali in una indeterminata \(s\)).

a) Dimostra che \( \mathbb{Q}(X) \) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \)
b) Calcola i gradi \( [\mathbb{Q}(X) : \mathbb{Q}(s)] \) e \( [\mathbb{Q}(s) : \mathbb{Q}]\).

Per a) ho fatto così
abbiamo che è algebrico se per ogni elemento \( \alpha \in \mathbb{Q}(X) \), dove \( \alpha= p(X)/q(X) \) e \(q(X) \neq 0 \) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \).
Ovvero se esiste un polinomio \( \mathbb{Q}(s)[t] \) tale che \( f(p(X)/q(X))= 0 \).
Abbiamo che \( X^3-sX+2 = 0 \) dunque \( f(t) = t^2 - s t + 2 \) è un polinomio annullatore di \(X\). Dunque \(X\) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \), pertanto abbiamo che \( \mathbb{Q}(X) \) è algebrico su \( \mathbb{Q}(s) \). Poiché abbiamo un teorema che ci dice che se \( \alpha \) è algebrico su \(K \) allora \( K(\alpha) \) è algebrico su \(K\), dove \(K(\alpha) \) è il campo delle frazioni di \( K[\alpha] \).

b) Per questo ho guardato le soluzioni e non capisco.
Il grado di \( [ \mathbb{Q}(X): \mathbb{Q}(s)] \) è finito poiché è algebrico. Dunque per moltiplicatività dei gradi abbiamo che \( [ \mathbb{Q}(s) : \mathbb{Q} ] \) è infinito perché \( X \) è trascendente su \( \mathbb{Q} \).
Per calcolare il grado il polinomio minimale, il polinomio annullatore trovato nel punto a) ci garantisce che il grado dell'estensione è minore o uguale a 3. Dimostriamo che è uguale a 3 dimostrando che \(f(t) \) è irriducibile. Per fare questo è sufficiente dimostrare che è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \), per il teorema di Gauss l'annello fattoriale \( \mathbb{Q} \) (è fattoriale siccome isomorfo al campo delle frazzioni dell'annello \( \mathbb{Q}[t] \) poiché \(s \) è trascendente su \( \mathbb{Q} \) ).
Applichiamo allora il criterio di irriducibilità reduzione modulo \(s\), allora abbiamo che \(t^3-2\) è irriducibile in \( \mathbb{Q}[t] \) equivalentemente in \( \mathbb{Z}[t] \) grazie a Gauss ancora una volta. Concludiamo per Eisenstein con \(p=2\).
Possiamo alternativamente verificare anche con il brute force che \(f\) non ammette radici in \(\mathbb{Q}(s)\).

Ora non ho capito un paio di cose. In primo luogo cosa vuol dire che \(X\) ed \(s\) sono trascendenti su \( \mathbb{Q}\)?? Nel senso \(X\) è un indeterminata ed è il campo delle frazioni di \( \mathbb{Q}[X] \) che è l'anello dei polinomi a coefficienti in \( \mathbb{Q} \) ??
E per \(s\) cosa significa?
Inoltre perché dice che \( \mathbb{Q} \) è isomorfo a \( \mathbb{Q}[t] \) ? E cosa vuol dire fare una reduzione modulo \(s\), \(s = (X^3+2)/X \) dove \(X\) è un indeterminata.... sono confuso. Non capisco il senso di queste cose.

[solaàl]

E' qualcosa che sta certamente scritto nel tuo libro: se \(R \to S\) è una estensione di campi (si può fare anche per anelli), ogni elemento \(s\in S\) definisce un omomorfismo di valutazione \(\text{ev}_s : R[T] \to S\) ($T$ è una generica indeterminata) univocamente determinato da \(T\mapsto s\); ora,

1. $s$ si dice "algebrico su $R$" se \(\text{ev}_s\) ha nucleo diverso da zero; il "polinomio minimo" di $s$ è il generatore monico di \(\ker \text{ev}_s\)
2. $s$ si dice "$R$-trascendente" altrimenti (in tal caso, \(R(T)\) è un sottocampo di $S$).

E' chiaro se se consideri l'inclusione \(\mathbb Q \to \mathbb Q(X)\), l'elemento \(X\in \mathbb Q(X)\) è $QQ$-trascendente (e piu in generale, \(T\) è \(R\)-trascendente in \(R(T)\)). Lo stesso vale per $s$, grazie all'argomento che hai scritto. E, se $s$ è $R$-trascendente, per il primo teorema di isomorfismo si ha che \(\mathbb Q[T] / \ker(\text{ev}_s) \), ossia \(\mathbb Q[T]\), è isomorfo a \(\text{im } \text{ev}_s\), ossia \(\mathbb Q(s)\).

Infine, la riduzione modulo $s$ in un anello $S$ si fa considerando l'ideale $J_s$ generato da $s$, e il quoziente \(S/J_s\).