W = p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)
Sia W= p(x) appartenente a R3[x] t.c. p(-2)=p(1)=p(0)
1) Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W è un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base;
2) Si determinino, se possibile, 3 vettori lin. indipendenti che NON appartengono a W.
Buonasera, mi stavo imbattendo su questa tipologia di esercizi. Ho un dubbio in questo caso:
da quel che so affinchè uno spazio vettoriale sia sottospazio deve possedere le tre condizioni: vettore nullo app. a W, W deve essere chiuso rispetto alla somma tra vettori e al prodotto tra costanti. Il dubbio in questo esercizio sta sostanzialmente nella somma tra vettori perchè non capisco se i vettori che devono seguire questa condizione (p(-2)=p(1)=p(0)) tra p(-2) e p(1), per esempio, debbano avere le stesse costanti oppure possono avere costanti differenti in base al polinomio.
Es: p(-2) = -8 a0 + 4 a1 -2 a2 + a3 ;
p(1) = b0 + b1 +b2 + b3.
Cioè i rispettivi a e b (costanti) sono uguali? Inoltre se mi aiutaste nello svolgimento di tale esercizio, con tanto di passaggi, ve ne sarei grato. Grazie!
1) Utilizzando la definizione di sottospazio, si stabilisca se W è un sottospazio di R3[x] e in caso affermativo se ne determini una base;
2) Si determinino, se possibile, 3 vettori lin. indipendenti che NON appartengono a W.
Buonasera, mi stavo imbattendo su questa tipologia di esercizi. Ho un dubbio in questo caso:
da quel che so affinchè uno spazio vettoriale sia sottospazio deve possedere le tre condizioni: vettore nullo app. a W, W deve essere chiuso rispetto alla somma tra vettori e al prodotto tra costanti. Il dubbio in questo esercizio sta sostanzialmente nella somma tra vettori perchè non capisco se i vettori che devono seguire questa condizione (p(-2)=p(1)=p(0)) tra p(-2) e p(1), per esempio, debbano avere le stesse costanti oppure possono avere costanti differenti in base al polinomio.
Es: p(-2) = -8 a0 + 4 a1 -2 a2 + a3 ;
p(1) = b0 + b1 +b2 + b3.
Cioè i rispettivi a e b (costanti) sono uguali? Inoltre se mi aiutaste nello svolgimento di tale esercizio, con tanto di passaggi, ve ne sarei grato. Grazie!
Risposte
Certo che sono gli stessi!
Stai prendendo un polinomio generico $p(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ e stai imponendo le due condizioni $p(-2) = p(0)$ e $p(1) = p(0)$.
Stai prendendo un polinomio generico $p(x) = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ e stai imponendo le due condizioni $p(-2) = p(0)$ e $p(1) = p(0)$.
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