Verificare se $(Z,*)$ è un gruppo
ragazzi stò svolgendo questo esercizio:
$(Z, *), a*b=a+b+3$
Ho preso in considerazione l'insieme $Z$ con l'operazione di moltiplicazione $*$.
Ho letto nella teoria che l'insieme degli interi, con l'operazione di moltiplicazione non è un gruppo ma è un monoide commutativo.
Ho provato a verificare associatività, esistenza dell'identità, esistenza dell'elemento simmetrizzabile e mi trovo:
associatività ok!
elemento neutro $u=-3$
elemento simmetrizzabile $b=-a-6$,
Quindi è un gruppo???
$(Z, *), a*b=a+b+3$
Ho preso in considerazione l'insieme $Z$ con l'operazione di moltiplicazione $*$.
Ho letto nella teoria che l'insieme degli interi, con l'operazione di moltiplicazione non è un gruppo ma è un monoide commutativo.
Ho provato a verificare associatività, esistenza dell'identità, esistenza dell'elemento simmetrizzabile e mi trovo:
associatività ok!
elemento neutro $u=-3$
elemento simmetrizzabile $b=-a-6$,
Quindi è un gruppo???
Risposte
Si. E infatti \(\displaystyle \mathbb{Z} \) è un gruppo con la somma.
Con la moltiplicazione standard invece non ci sono gli inversi (tranne per alcuni). L'uso del simbolo moltiplicativo qui è solo formale e non ha nulla a che vedere con la moltiplicazione standard.
Con la moltiplicazione standard invece non ci sono gli inversi (tranne per alcuni). L'uso del simbolo moltiplicativo qui è solo formale e non ha nulla a che vedere con la moltiplicazione standard.
mi fai un esempio con la moltiplicazione standard?
gaten il gruppo $(ZZ,*)$ ammette come inversi moltiplicativi solo gli interi $1$ e $-1$, infatti da $a*a^-1=a^-1*a=1$ si ha:
$1*1^-1=1/1=1$ e $1*(-1^-1)=1/-1=-1$
mentre in tutti gli altri casi non ottieni un intero.
Prova a fare qualche esempio per conto tuo e poi postalo qui
$1*1^-1=1/1=1$ e $1*(-1^-1)=1/-1=-1$
mentre in tutti gli altri casi non ottieni un intero.
Prova a fare qualche esempio per conto tuo e poi postalo qui
basta fare:
$1*(3^(-1))=1/3$ impossibile, $1/3$ non appartiene a $Z$ quindi non esistono inversi moltiplicativi in $Z$ per elementi diversi da $1$ e $-1$
Ovviamente la struttura $(Z,+,*)$, risulterà essere un Anello, poichè ha almeno 2 elementi simmetrizzabili 1 e -1, ma non risulterà essere un campo poichè non tutti gli elementi sono simmetrizzabili, è così?
$1*(3^(-1))=1/3$ impossibile, $1/3$ non appartiene a $Z$ quindi non esistono inversi moltiplicativi in $Z$ per elementi diversi da $1$ e $-1$
Ovviamente la struttura $(Z,+,*)$, risulterà essere un Anello, poichè ha almeno 2 elementi simmetrizzabili 1 e -1, ma non risulterà essere un campo poichè non tutti gli elementi sono simmetrizzabili, è così?
Si è tutto corretto, anche se avresti dovuto inventare un'operazione binaria di tipo moltiplicativo comunque il concetto mi sembra che ti sia chiaro .
comunque il concetto mi sembra che ti sia chiaro .
Inoltre, è corretto quello che scrivo dopo l'esempio riguardo $(Z,+,*)$??
Si e no, nel senso che l'anello degli interi $(ZZ,+,*)$ non è definito esclusivamente dal fatto che "ha almeno 2 elementi simmetrizzabili 1 e -1", ma dal fatto che $(ZZ,+)$ è un gruppo abeliano, $(ZZ,*)$ è un monoide commutativo ed è verificata la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma.
Per il campo invece è corretto, è un anello in cui ogni elemento non nullo ammette inverso moltiplicativo.
Per il campo invece è corretto, è un anello in cui ogni elemento non nullo ammette inverso moltiplicativo.
Forse mi sono espresso male, gli anelli a differenza dei campi risultano:
$(A,+)$ gruppo abeliano
$(A,*)$ monoide (in questo caso l'anello è commutativo, e inoltre non c'è proprio la condizione che gli elementi devono essere simmetrizzabili).
l'operazione di moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.
mentre $(A, +, *)$ è un campo se:
$(A,+)$ è un gruppo abeliano
$(A,*)$ è un gruppo abeliano (questo significa che tutti gli elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo).
l'operazione di moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.
$(A,+)$ gruppo abeliano
$(A,*)$ monoide (in questo caso l'anello è commutativo, e inoltre non c'è proprio la condizione che gli elementi devono essere simmetrizzabili).
l'operazione di moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.
mentre $(A, +, *)$ è un campo se:
$(A,+)$ è un gruppo abeliano
$(A,*)$ è un gruppo abeliano (questo significa che tutti gli elementi non nulli hanno inverso moltiplicativo).
l'operazione di moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma.
Ok!
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