Verificare se $(Z_7, *)$ è un gruppo

[gaten]

In $Z_7$ si consideri l'operazione così definita:

$a*b=a+b+3$ $ AAa,b in Z_7$
(specifico che sia le lettere che i numeri, presentano una linietta sopra, sono segnati)

Si studi la struttura $(Z_7, *)$; data la definizione di gruppo, in particolare si verifichi se $(Z_7, *)$ è un gruppo abeliano.

In questo caso devo verificare che la struttura risulta essere:

1) un monoide
2) ogni elemento in $Z_7$ dev'essere simmetrizzabile.

per l'associatività ho fatto:

$a(bc)=(ab)c$

$a(bc) => a*(b+c+3)=a+(b+c+3)+3=a+b+c+6$

$(ab)c => (a+b+3)c=a+b+3+c+3=a+b+c+6$
Quindi per l'associatività è ok!

per far si che sia un monoide deve esistere l'elemento neutro quindi:

$EE u in Z_7 : a*u=a, AAa in Z_7$

$a+u+3=a =>u=-3$ ed è anche identità in quanto $(a*u=a=u*a)$

2) per l'inverso o elemento simmetrizzabile devo verificare che:
$AA a in Z_7, EE b in Z_7 : ab=ba=u$ quindi:

$a+b+3=-3 => b=a-6 $

Per verificare che $(Z_7, *)$ è un gruppo abeliano, devo verificare se vale la proprietà commutativa:

$AA a,b in Z_7, ab=ba$

$ab => a+b+3$
$ba => b+a+3$

è commutativo!


è corretto ??? Grazie

[Mrhaha]

Si è corretto!