Verificare se polinomio ha radici

[gaten]

$h = (x^2-1)(3x+2)$ e $k=(x-4)^2$ sono due polinomi in $Q[x]$

esiste un polinomio $g in Q[x]$ tale che $f = h+gk$ abbia $1$ e $-1$ come radici ?

[perplesso1]

a occhio direi che basta scegliere $g = (x^2-1)$

[gaten]

Se è questo, come è stato scelto questo polinomio?

[Kashaman]

ciao Gaten.
Hai che $h= (x^2-1)(3x+2)$
e $k=(x-4)^2$
vuoi trovare
$g in Q[x] : F = h+gk ,f(1)=f(-1)=0$
se $deg(g)=1$ allora f ha al massimo come radice 1 oppure -1.
Supponi che $deg(g)=2$ Allora $g= x^2+ax+b , a,bin ZZ$
Allora deve risultare che $f(1)=0+(1+a+b)(9)=0 , f(-1)=(1-a+b)25=0$ giusto?
Allora, risolvendo il sistemarispetto a e b. Ottieni
$a=0 , b=-1$ Pertanto $g(x)=x^2-1$. Esiste.