Verificare se è una partizione

[gaten]

$F = { X_i : i in N }$

$X_i = { n in N - {0} : 2^i $ è la massima potenza che divide $ n }$

chi sono $X_0$ e $X_3$

Verificare che F è una partizione di $N-{0}$

Qualcuno può aiutarmi?

[perplesso1]

Ti basta verificare che ogni naturale positivo è contenuto in qualche $X_i$ e che inoltre dati due indici $i \ne j$ si ha $X_i \cap X_j = \emptyset $. A me francamente sembrano evidenti entrambe le cose. Per il resto $X_0$ è l'insieme dei numeri dispari mentre $X_3 = {8*(2k+1)| k \in N}$. Ciao.

[gundamrx91-votailprof]

Scusate ma non riesco a capire cosa intenda per [tex]2^i[/tex] è la massima potenza che divide [tex]n[/tex]... Ma vuole dir che [tex]2^i | n[/tex], o cosa?

[perplesso1]

Ottima domanda Gundam, io l'ho interpretato come se volesse dire "la massima potenza di 2 che divide $n$". Ma potrei anche aver capito male.

[gundamrx91-votailprof]

No, no è più probabile che abbia capito male io . Nel caso però, per massima potenza di [tex]2[/tex] che divide [tex]n[/tex], che intendi? Fammi un esempio facile-facile, pleeeeeeeeeeeeeeeeeeeease

[perplesso1]

Intendo che $2^i$ divide $n$ ma $2^{i+1}$ invece no. Esempio $2^3$ divide $24$ ma $2^4$ no.

[gaten]

"perplesso":Ti basta verificare che ogni naturale positivo è contenuto in qualche $X_i$ e che inoltre dati due indici $i \ne j$ si ha $X_i \cap X_j = \emptyset $. A me francamente sembrano evidenti entrambe le cose. Per il resto $X_0$ è l'insieme dei numeri dispari mentre $X_3 = {8*(2k+1)| k \in N}$. Ciao.

Però vorrei sapere come dimostrare che $X_i nn X_j = O/$ e che l'unione di tutti gli $X_i in F$ siano uguale all'insieme $N-{0}$

[perplesso1]

Scusami pensavo che la tua difficoltà fosse con la definizione di partizione non avevo capito che il problema era con l'aritmetica. Dunque supponiamo che esista $z \in X_i \cap X_j$ con $i2^i$, quindi $2^i$ non è la massima potenza di $2$ che divide $z$ e pertanto $z \notin X_i$, assurdo. Per quanto riguarda l'unione ti ho detto che è la stessa cosa provare che ogni naturale positivo si trova in qualche $X_i$. Basta riflettere che ogni naturale positivo $n$ ha un'unica scomposizione in fattori primi, se $2$ non è fra questi fattori allora $n \in X_0$, se invece il fattore $2$ compare nella scomposizione $i$ volte allora $n \in X_i$. Fine.