Verificare iniettività
Ragazzi se considero:
$S={1,2,3}$ e $T={f | f : S->Z_8$ è un'applicazione $}$
Definita in $T$ l'operazione $*$ come segue: $AAf,g in T$
$f * g : x in S -> f(x)g(x)$
Se $f, g$ sono iniettive, $f*g$ è iniettiva?
Io ho detto no poichè se dall'insieme $T$ , ho due applicazioni di questo tipo:
$f : x in S -> [0] in Z_8$ e
$g : x in S -> [2] in Z_8$ ho :
$f * g = f(x)g(x) = f(1)g(1) = [0]$
$f * g = f(x)g(x) = f(2)g(3) = [0]$
cioè non è iniettiva, quindi l'iniettività di $f*g$ dipende da cosa fanno $f$ e $g$
E' giusto?
inoltre mi chiede:
Se $f in T$ è tale che $f(a)=f(b)=[1]$ e $f(c)=[4]$ , determinare tutte le applicazioni $g in T$ tali che $f*g$ sia la costante zero.
Suppongo anche se non lo specifica che $a,b,c$ siano elementi di $S$, io in questo caso devo avere una applicazione tale per cui $f*g=[0]$ poichè $f$ è una'applicazione costante che ad ogni elemento $a,b in S$ associa l'elemento $[1] in Z_8$, $g$ deve necessariamente essere o l'applicazione che se riceve come parametri $a$ o $b$ associa l'elemento $[0] in Z_8$ altrimenti se riceve come parametro $c$, associa per ogni elemento di $S$, l'elemento $[2], [4]$ oppure $[6]$ in $Z_8$.
$g : x in S -> $ associa $[0]$ per $x=a$ oppure $x=b$ e associa $[2], [4],$oppure $ [6]$ per $x=c$
E' giusto come ragionamento?
Grazie anticipatamente.
$S={1,2,3}$ e $T={f | f : S->Z_8$ è un'applicazione $}$
Definita in $T$ l'operazione $*$ come segue: $AAf,g in T$
$f * g : x in S -> f(x)g(x)$
Se $f, g$ sono iniettive, $f*g$ è iniettiva?
Io ho detto no poichè se dall'insieme $T$ , ho due applicazioni di questo tipo:
$f : x in S -> [0] in Z_8$ e
$g : x in S -> [2] in Z_8$ ho :
$f * g = f(x)g(x) = f(1)g(1) = [0]$
$f * g = f(x)g(x) = f(2)g(3) = [0]$
cioè non è iniettiva, quindi l'iniettività di $f*g$ dipende da cosa fanno $f$ e $g$
E' giusto?
inoltre mi chiede:
Se $f in T$ è tale che $f(a)=f(b)=[1]$ e $f(c)=[4]$ , determinare tutte le applicazioni $g in T$ tali che $f*g$ sia la costante zero.
Suppongo anche se non lo specifica che $a,b,c$ siano elementi di $S$, io in questo caso devo avere una applicazione tale per cui $f*g=[0]$ poichè $f$ è una'applicazione costante che ad ogni elemento $a,b in S$ associa l'elemento $[1] in Z_8$, $g$ deve necessariamente essere o l'applicazione che se riceve come parametri $a$ o $b$ associa l'elemento $[0] in Z_8$ altrimenti se riceve come parametro $c$, associa per ogni elemento di $S$, l'elemento $[2], [4]$ oppure $[6]$ in $Z_8$.
$g : x in S -> $ associa $[0]$ per $x=a$ oppure $x=b$ e associa $[2], [4],$oppure $ [6]$ per $x=c$
E' giusto come ragionamento?
Grazie anticipatamente.
Risposte
Ci sono varie cose che non capisco in quello che hai scritto:
0) $f,g$ come sono definite? sono costanti? se si allora NON sono iniettive.
1) chi sono $a,b,c$? sono $a=1, b=2, c=3$? comunque $f$ non e' costante, visto che $c$ ha un'altra immagine.
0) $f,g$ come sono definite? sono costanti? se si allora NON sono iniettive.
1) chi sono $a,b,c$? sono $a=1, b=2, c=3$? comunque $f$ non e' costante, visto che $c$ ha un'altra immagine.
f,g che hai scritto non sono iniettive, di conseguenza neanche f*g è iniettiva.
Supponi di avere $f,g$ definite cosi.
$ f : S -> Z_8 $ tale che
$ f(1) = [x_1]_8 $
$f(2)= [x_2]_8$
$f(3) = [x_3]_8$
analogamente sia $g:S->Z_8$ tale che
$ g(1) = [x_2]_8 $
$g(2)= [x_1]_8$
$g(3) = [x_3]_8$ . Ovviamente $f$ diversa da $g$ . Ma entrambe iniettive.
in entrambe le funzioni $ [x_1}!= [x_2}!=[x_3]$
$f*g$ come è?
basta prendere
$f(1)*g(1)=[x_1*x_2]_8$
e $g(2)f(2)=[(x_1)*(x_2)]_8$.
Ma allora $f(1)g(1)=g(2)f(2)$ pur essendo $1!=2$.
Pertanto, se f,g sono ingettive, non implica necessariamente che lo è anche $f*g$ con il prodotto sopra definito.
l'altro punto è un poco poco non chiaro.
Supponi di avere $f,g$ definite cosi.
$ f : S -> Z_8 $ tale che
$ f(1) = [x_1]_8 $
$f(2)= [x_2]_8$
$f(3) = [x_3]_8$
analogamente sia $g:S->Z_8$ tale che
$ g(1) = [x_2]_8 $
$g(2)= [x_1]_8$
$g(3) = [x_3]_8$ . Ovviamente $f$ diversa da $g$ . Ma entrambe iniettive.
in entrambe le funzioni $ [x_1}!= [x_2}!=[x_3]$
$f*g$ come è?
basta prendere
$f(1)*g(1)=[x_1*x_2]_8$
e $g(2)f(2)=[(x_1)*(x_2)]_8$.
Ma allora $f(1)g(1)=g(2)f(2)$ pur essendo $1!=2$.
Pertanto, se f,g sono ingettive, non implica necessariamente che lo è anche $f*g$ con il prodotto sopra definito.
l'altro punto è un poco poco non chiaro.
Più di questo non posso fare:
[img]http://desmond.imageshack.us/Himg526/scaled.php?server=526&filename=88459651.jpg&res=landing[/img]
Qui c'è proprio il testo dell'esercizio. Devo fare il iii) e iv) punto. Inoltre qualcuno può farmi capire come determinare gli invertibili in $(T,*)$
[img]http://desmond.imageshack.us/Himg526/scaled.php?server=526&filename=88459651.jpg&res=landing[/img]
Qui c'è proprio il testo dell'esercizio. Devo fare il iii) e iv) punto. Inoltre qualcuno può farmi capire come determinare gli invertibili in $(T,*)$
Comunque, presuppongo che $f$ e $g$ siano funzioni che rappresentano dei punti...
Riguardo al punto iv penso che si siano proprio sbagliati. Credo sia $a=1$, $b=2$ e $c=3$. Insomma gli elementi di $S$ li hanno prima chiamati con i numeri e poi con le lettere. Direi di indicarli sempre con le lettere per non fare confusione con gli elementi di $\ZZ_8$.
La tua soluzione del punto iii e' un po' misteriosa e secondo me sbagliata. Devi partire da $f,g$ iniettive. Ti propongo di prendere $f(a)=[0], f(b)=[1], f(c)=[3]$ e $g(a)=[0]$, $g(b)=[7]$ e $g(c)=[5]$. Chi e' $f*g$?
Il iv e' un sistemino
La tua soluzione del punto iii e' un po' misteriosa e secondo me sbagliata. Devi partire da $f,g$ iniettive. Ti propongo di prendere $f(a)=[0], f(b)=[1], f(c)=[3]$ e $g(a)=[0]$, $g(b)=[7]$ e $g(c)=[5]$. Chi e' $f*g$?
Il iv e' un sistemino
nel caso iii)
$f(a)g(a)=[0], f(b)g(b)=[7], f(c)g(c)=[15] $ ma con questo ???
$f(a)g(a)=[0], f(b)g(b)=[7], f(c)g(c)=[15] $ ma con questo ???
Scusa, ma $\ZZ_8$ con quale operazione lo stiamo considerando?
Io ho ragionato con la somma. Te stai ragionando col prodotto. Il testo non dice niente... bah, ma dove lo hai preso st'esercizio?(e' pieno di imprecisioni!)
Io ho ragionato con la somma. Te stai ragionando col prodotto. Il testo non dice niente... bah, ma dove lo hai preso st'esercizio?(e' pieno di imprecisioni!)
Scusami come fai a considerare la somma se c'è scritto:
$f * g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$ ???
$f * g: x in S -> f(x)g(x) in Z_8$ ???
perche' in algebra astratta le operazioni, quando sono sottointese, si denotano spesso mettendo semplicemente uno a fianco all'altro gli elementi... Pero' comunque, rileggendo il testo, vista l'importanza che si da' agli elementi invertibile, mi viene da pensare che effettivamente venga usato il prodotto (altrimenti tutte le funzioni sarebbero invertibili, con la somma). A questo punto l'esempio che ti avevo consigliato di considerare per il punto iii non va piu' bene. Prova a considerare il seguente allora:
$f(a)=[0], f(b)=[2], f(c)=[4]$ e $g(a)=[0], g(b)=[4], g(c)=[6]$.
Sono tutte e due iniettive, ma il prodotto...
$f(a)=[0], f(b)=[2], f(c)=[4]$ e $g(a)=[0], g(b)=[4], g(c)=[6]$.
Sono tutte e due iniettive, ma il prodotto...
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