Verificare che ha senso definire un'applicazione
Ho la seguente relazione in $ZxZ$
$(a,b) phi (c,d) <=> a=c$
ed ho la seguente applicazione:
$f: [(a;b)] in ZxZ_phi -> a in Z$, mi chiede di verificare che ha senso definire tale applicazione e mi chiede anche di verificare che f è biettiva.
Io ho iniziato così(dalla definizione di applicazione):
$f: X->Y,$
$AA x in X, EE!y in Y: y=f(x)$
Quindi nel mio caso devo verificare che:
$f: ZxZ_phi -> Z$
$AA [(a;b)] in ZxZ_phi, EE!y in Z: y=f([(a;b)])$
è così? ma poi come continuo?
$(a,b) phi (c,d) <=> a=c$
ed ho la seguente applicazione:
$f: [(a;b)] in ZxZ_phi -> a in Z$, mi chiede di verificare che ha senso definire tale applicazione e mi chiede anche di verificare che f è biettiva.
Io ho iniziato così(dalla definizione di applicazione):
$f: X->Y,$
$AA x in X, EE!y in Y: y=f(x)$
Quindi nel mio caso devo verificare che:
$f: ZxZ_phi -> Z$
$AA [(a;b)] in ZxZ_phi, EE!y in Z: y=f([(a;b)])$
è così? ma poi come continuo?
Risposte
Devi provare che se due classi di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\phi}\) sono uguali allora hanno uguali immagini secondo \(f\).
Wizard, come l'ho impostato io va bene?
Inoltre l'applicazione associa ad ogni classe $[(a,b)] in ZxZ_phi$ un elemento $a in Z$(che credo sia la prima coordinata )
Non riesco a capire quello che hai scritto.
Inoltre l'applicazione associa ad ogni classe $[(a,b)] in ZxZ_phi$ un elemento $a in Z$(che credo sia la prima coordinata )
Non riesco a capire quello che hai scritto.
La proprietà caratterizzante la definizione di applicazione è che ogni elemento del dominio dell'applicazione ha una ed una sola immagine nel codominio della stessa.
Quando tu scrivi che devi verificare che \(\forall \left[\left(a;b\right)\right] \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\phi}, \exists ! y \in \mathbb{Z} \mid y=f\left(\left[\left(a;b\right)\right]\right)\), non stai facendo altro che tradurre in simboli la formulazione verbale della suddetta proprietà caratterizzante.
Ora come fai a verificare che la suddetta proprietà vale nel tuo caso? Se dovessi farlo io, io mostrerei che se due elementi di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\phi}\) sono uguali, allora hanno uguale immagine.
Quando tu scrivi che devi verificare che \(\forall \left[\left(a;b\right)\right] \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\phi}, \exists ! y \in \mathbb{Z} \mid y=f\left(\left[\left(a;b\right)\right]\right)\), non stai facendo altro che tradurre in simboli la formulazione verbale della suddetta proprietà caratterizzante.
Ora come fai a verificare che la suddetta proprietà vale nel tuo caso? Se dovessi farlo io, io mostrerei che se due elementi di \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}_{\phi}\) sono uguali, allora hanno uguale immagine.
$Z_phi$ è l'insieme quoziente cioè: $Z_phi=${l'insieme di tutte le coppie che hanno la prima coordinata uguale} ? è così?
È il quoziente, però l'hai detto male.
Cosa significa dire che un insieme è l'insieme di tutte le coppie che hanno la prima coordinata uguale? Non molto: data una qualunque coppia \(\left(a;b\right) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\), questa appartiene o non appartiene a \(\mathbb{Z}_{\phi}\)? Date le coppie \(\left(a;b\right),\left(a;c\right)\) questa appartengono all'insieme così come lo hai definito tu; anche le coppie \(\left(d;e\right),\left(d;f\right)\); e le coppie \(\left(a;b\right),\left(d;e\right)\)? A quanto pare sì, però non hanno la stessa prima coordinata, quindi a quanto pare no.
\(\mathbb{Z}_{\phi}\) è l'insieme di tutte le classi di equivalenza determinate dalla relazione \(\phi\) in \(\mathbb{Z}^{2}\) e ciascuna classe di equivalenza è l'insieme di tutte e sole le coppie che sono in relazione secondo \(\phi\), i.e., in questo caso, ciascuna classe di equivalenza è l'insieme di tutte e sole le coppie ordinate cha hanno la stessa prima coordinata.
Il problema sta nel fatto che se io prendo le coppie \(\left(a;b\right), \left(c;d\right)\) con \(a=c\), risulta che la classe di equivalenza di rappresentante \(\left(a;b\right)\) è uguale a quella di rappresentante \(\left(c;d\right)\), e viceversa.
Dunque la soluzione qual è? È che se \(\left[\left(a;b\right)\right]=\left[\left(c;d\right)\right]\), allora \(\left(a;b\right)\phi\left(c;d\right)\), da cui, per come è definita \(\phi\), si ha che \(a=c\). Allora \(f\left(\left[\left(a;b\right)\right]\right)=a=c=f\left(\left[\left(c;d\right)\right]\right)\) e quindi l'applicazione è ben posta.
Cosa significa dire che un insieme è l'insieme di tutte le coppie che hanno la prima coordinata uguale? Non molto: data una qualunque coppia \(\left(a;b\right) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\), questa appartiene o non appartiene a \(\mathbb{Z}_{\phi}\)? Date le coppie \(\left(a;b\right),\left(a;c\right)\) questa appartengono all'insieme così come lo hai definito tu; anche le coppie \(\left(d;e\right),\left(d;f\right)\); e le coppie \(\left(a;b\right),\left(d;e\right)\)? A quanto pare sì, però non hanno la stessa prima coordinata, quindi a quanto pare no.
\(\mathbb{Z}_{\phi}\) è l'insieme di tutte le classi di equivalenza determinate dalla relazione \(\phi\) in \(\mathbb{Z}^{2}\) e ciascuna classe di equivalenza è l'insieme di tutte e sole le coppie che sono in relazione secondo \(\phi\), i.e., in questo caso, ciascuna classe di equivalenza è l'insieme di tutte e sole le coppie ordinate cha hanno la stessa prima coordinata.
Il problema sta nel fatto che se io prendo le coppie \(\left(a;b\right), \left(c;d\right)\) con \(a=c\), risulta che la classe di equivalenza di rappresentante \(\left(a;b\right)\) è uguale a quella di rappresentante \(\left(c;d\right)\), e viceversa.
Dunque la soluzione qual è? È che se \(\left[\left(a;b\right)\right]=\left[\left(c;d\right)\right]\), allora \(\left(a;b\right)\phi\left(c;d\right)\), da cui, per come è definita \(\phi\), si ha che \(a=c\). Allora \(f\left(\left[\left(a;b\right)\right]\right)=a=c=f\left(\left[\left(c;d\right)\right]\right)\) e quindi l'applicazione è ben posta.
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