Verifica se relazione di equivalenza
Ciao,
avendo queste premesse:
"Si consideri in Z la relazione p cosi definita: per ogni a,b appartenenti a Z sia apb se e solo se esiste x appartenente a Z tale che sia $(a-2)^2 = (b-2)^2 + 3x$"
Come faccio a calcolare la relazione di equivalenza?
So che devo verificare se la relazione p è riflessiva, transitiva e simmetrica.
Per ora ho fatto questo seguendo alcuni esempi in rete (purtroppo nel testo non c'è una dimostrazione):
Riflessiva: $(a-2)^2 = (a-2)^2 + 3x$ e quindi $3x = 0$ quindi cosa vuol dire? Che è riflessiva solo per $x = 0$?
Simmetrica: $(a-2)^2 = (b-2)^2 + 3x$ è uguale a $(b-2)^2 + 3x = (a-2)^2$ Ma mi sembra strano sia cosi...
Grazie
avendo queste premesse:
"Si consideri in Z la relazione p cosi definita: per ogni a,b appartenenti a Z sia apb se e solo se esiste x appartenente a Z tale che sia $(a-2)^2 = (b-2)^2 + 3x$"
Come faccio a calcolare la relazione di equivalenza?
So che devo verificare se la relazione p è riflessiva, transitiva e simmetrica.
Per ora ho fatto questo seguendo alcuni esempi in rete (purtroppo nel testo non c'è una dimostrazione):
Riflessiva: $(a-2)^2 = (a-2)^2 + 3x$ e quindi $3x = 0$ quindi cosa vuol dire? Che è riflessiva solo per $x = 0$?
Simmetrica: $(a-2)^2 = (b-2)^2 + 3x$ è uguale a $(b-2)^2 + 3x = (a-2)^2$ Ma mi sembra strano sia cosi...
Grazie
Risposte
Presi due interi $a,b$ essi sono in relazione sse esiste (almeno un) intero $x$ t.c. $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$.
Verificare se questa relazione è riflessiva o meno significa stabilire se $forall a in ZZ$ è possibile determinare almeno un $x$ intero tale che $(a-2)^2=(a-2)^2+3x$: evidentemente $x=0$ rende vera l'uguaglianza e quindi la relazione è riflessiva.
Verificare se questa relazione è simmetrica o meno significa stabilire se $forall a,b in ZZ$ dall'essere $a$ in relazione con $b$ si possa ricavare che $b$ è in relazione con $a$: sia dunque vero che $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$, segue che $(b-2)^2=(a-2)^2-3x=(a-2)^2+3(-x)$, cioè se $a$ è in relazione con $b$ per mezzo di $x$, allora $b$ è in relazione con $a$ per mezzo di $-x$, quindi la relazione è simmetrica.
A te la transitività.
Verificare se questa relazione è riflessiva o meno significa stabilire se $forall a in ZZ$ è possibile determinare almeno un $x$ intero tale che $(a-2)^2=(a-2)^2+3x$: evidentemente $x=0$ rende vera l'uguaglianza e quindi la relazione è riflessiva.
Verificare se questa relazione è simmetrica o meno significa stabilire se $forall a,b in ZZ$ dall'essere $a$ in relazione con $b$ si possa ricavare che $b$ è in relazione con $a$: sia dunque vero che $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$, segue che $(b-2)^2=(a-2)^2-3x=(a-2)^2+3(-x)$, cioè se $a$ è in relazione con $b$ per mezzo di $x$, allora $b$ è in relazione con $a$ per mezzo di $-x$, quindi la relazione è simmetrica.
A te la transitività.
Ciao.
Osservo solo una cosa:
più in generale, se $sim$ è una relazione di equivalenza su un insieme $A$ e $f$ è una funzione $A to A$ allora la relazione $sim^*$ definita da "$a sim^* b$ se $f(a) sim f(b)$" è ancora un'equivalenza su $A$.
Nel tuo caso $f(a)=(a-2)^2$ e $sim$ è la congruenza modulo $3$.
Osservo solo una cosa:
più in generale, se $sim$ è una relazione di equivalenza su un insieme $A$ e $f$ è una funzione $A to A$ allora la relazione $sim^*$ definita da "$a sim^* b$ se $f(a) sim f(b)$" è ancora un'equivalenza su $A$.
Nel tuo caso $f(a)=(a-2)^2$ e $sim$ è la congruenza modulo $3$.
Allora, ho capito le prime due dimostrazioni, non avendole mai viste prima la cosa mi sembrava un pò fumosa, ora è un pò più chiaro.
Sto cercando di verificare anche la transitività ma sono fermo al punto di dover scegliere il terzo elemento, quello che consente di dire a è in relazione con c.
Avete suggerimenti?
@Martino: non ho capito cosa aggiunge la tua risposta, mi spiegheresti? :]
Sto cercando di verificare anche la transitività ma sono fermo al punto di dover scegliere il terzo elemento, quello che consente di dire a è in relazione con c.
Avete suggerimenti?
@Martino: non ho capito cosa aggiunge la tua risposta, mi spiegheresti? :]
"Montecristoh":Grazie per il tono. Ho solo osservato che se invece di $(a-2)^2$ mettevi una qualunque funzione di $a$ il risultato restava vero e la dimostrazione la stessa.
@Martino: non ho capito cosa aggiunge la tua risposta, mi spiegheresti? :]
Se ti sembra che io abbia detto una ovvietà posso pure cancellare il mio intervento. Vedi tu.
Ciao
"Martino":Grazie per il tono. Ho solo osservato che se invece di $(a-2)^2$ mettevi una qualunque funzione di $a$ il risultato restava vero e la dimostrazione la stessa.
[quote="Montecristoh"]@Martino: non ho capito cosa aggiunge la tua risposta, mi spiegheresti? :]
Se ti sembra che io abbia detto una ovvietà posso pure cancellare il mio intervento. Vedi tu.
Ciao[/quote]
No no assolutamente, in realtà devo ancora capire perchè ^^ Grazie dell'aggiunta.
Per la transitività hai da darmi un suggerimento? Non mi serve una soluzione.
P.S.: non era un tono scortese ^^ Volevo proprio capire cosa significa
Per La transitivita' devi dimostrare che se a$sim$b e b$sim$c allora si ha a$sim$c
Pertanto dovrebbe essere:
a$sim$b significa $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$
b$sim$c significa $(b-2)^2=(c-2)^2 + 3x$
Quindi dalla prima equazione ottieni:
$(b-2)^2 =(a-2)^2 - 3x$
Sostituendo nella seconda equazione $(b-2)^2$ ottieni la condizione di transitivita'
Pertanto dovrebbe essere:
a$sim$b significa $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$
b$sim$c significa $(b-2)^2=(c-2)^2 + 3x$
Quindi dalla prima equazione ottieni:
$(b-2)^2 =(a-2)^2 - 3x$
Sostituendo nella seconda equazione $(b-2)^2$ ottieni la condizione di transitivita'
"M.C.D.":
Per La transitivita' devi dimostrare che se a$sim$b e b$sim$c allora si ha a$sim$c
Pertanto dovrebbe essere:
a$sim$b significa $(a-2)^2=(b-2)^2 + 3x$
b$sim$c significa $(b-2)^2=(c-2)^2 + 3x$
Quindi dalla prima equazione ottieni:
$(b-2)^2 =(a-2)^2 - 3x$
Sostituendo nella seconda equazione $(b-2)^2$ ottieni la condizione di transitivita'
Ok... ma sostituendo nella seconda equazione ottengo $(a-2)^2 = (c-2)^2 + 6x$, non ho capito come mai questo rappresenta la soluzione... cioè, non dovrei ottenere $(a-2)^2 = (c-2)^2 + 3x$?
E quando mai ottieni $6x$? Chi ti dice che la $x$ che mette in relazione $a$ con $b$ sia la stessa che mette in relazione $b$ con $c$. Chiama $x_1$ e $x_2$ la seconda, raccogli $3$ e ottieni $x_1+x_2$ in qualità di intero che mette in relazione $a$ con $c$.
"WiZaRd":
E quando mai ottieni $6x$? Chi ti dice che la $x$ che mette in relazione $a$ con $b$ sia la stessa che mette in relazione $b$ con $c$. Chiama $x_1$ e $x_2$ la seconda, raccogli $3$ e ottieni $x_1+x_2$ in qualità di intero che mette in relazione $a$ con $c$.
Ah ok, quindi non devo guardare strettamente al risultato.
Un'altra cosa: quando mi viene chiesto di controllare se due interi sono tra loro equivalenti (nello stesso esercizio della sopracitata funzione) devo solamente sostituire ad a e b i valori dati e controllare se ottengo una identità?
Mi credi se ti dico che non ti ho capito?!
Assolutamente si, non ho ben chiaro il problema, è questo il punto ^^
Scrivo direttamente la richiesta come appare sul compito:
"Si consideri in Z la relazione p cosi definita: per ogni a,b appartenenti a Z sia apb se e solo se esiste x appartenente a Z tale che sia $(a-2)^2 = (b-2)^2+3x$.
Si chiede se gli interi 5 e 11 sono tra loro equivalenti.
Si determini la classe di equivalenza che contiene 5."
Per quanto riguarda il primo è corretto il procedimento di sosituire 5 e 11 ad a e b nella equazione e controllare se si ottiene una identità?
Per il secondo sto ancora cercando di capire come fare.
Scrivo direttamente la richiesta come appare sul compito:
"Si consideri in Z la relazione p cosi definita: per ogni a,b appartenenti a Z sia apb se e solo se esiste x appartenente a Z tale che sia $(a-2)^2 = (b-2)^2+3x$.
Si chiede se gli interi 5 e 11 sono tra loro equivalenti.
Si determini la classe di equivalenza che contiene 5."
Per quanto riguarda il primo è corretto il procedimento di sosituire 5 e 11 ad a e b nella equazione e controllare se si ottiene una identità?
Per il secondo sto ancora cercando di capire come fare.
"Montecristoh":Perché non provi?
Per quanto riguarda il primo è corretto il procedimento di sosituire 5 e 11 ad a e b nella equazione e controllare se si ottiene una identità?
Ho già provato, però ottengo $x=-18$ il che mi turba ^^
Non avendo teoria come riferimento (slides del prof o un libro) sto cercando in rete per capire qual'è la procedura corretta... a me ricercare l'identità, per la teoria studiata fino ad ora, pareva una soluzione sensata, ma forse visto il risultato non lo è poi cosi tanto
Non avendo teoria come riferimento (slides del prof o un libro) sto cercando in rete per capire qual'è la procedura corretta... a me ricercare l'identità, per la teoria studiata fino ad ora, pareva una soluzione sensata, ma forse visto il risultato non lo è poi cosi tanto
"Montecristoh":Perché ti turba? Leggi il testo dell'esercizio. Ti si richiede l'esistenza di un intero $x$ tale che...
Ho già provato, però ottengo $x=-18$ il che mi turba ^^
Quindi il problema è trovare un opportuno $x$. Prova a pensarci.
Ma x è solo il valore che se esistente verifica la relazione... mmmh sento che mi sta sfuggendo qualcosa di imbarazzante.
Continuo a guardarci, più che altro mi sfugge cosa vuol dire in questo caso equivalenti.
EDIT: forse ho capito, allora, a sinistra dell'uguale ho la a, a destra dell'uguale ho la b più un altro fattore x, quindi vuol dire che a e b sono uguali a meno di un x.
Trovato questo x... e qui si ferma il mio ragionamento per il momento, cioè ho trovato che x è -18 ok, però come faccio a capire se -18 è esattamente il valore che li rende uguali?
Ci devo pensare ancora un pò ^^
Comunque sia grazie mille per l'intervento
Continuo a guardarci, più che altro mi sfugge cosa vuol dire in questo caso equivalenti.
EDIT: forse ho capito, allora, a sinistra dell'uguale ho la a, a destra dell'uguale ho la b più un altro fattore x, quindi vuol dire che a e b sono uguali a meno di un x.
Trovato questo x... e qui si ferma il mio ragionamento per il momento, cioè ho trovato che x è -18 ok, però come faccio a capire se -18 è esattamente il valore che li rende uguali?
Ci devo pensare ancora un pò ^^
Comunque sia grazie mille per l'intervento
Atteso che la relazione data è una relazione di equivalenza, due elementi $a$ e $b$ sono equivalenti sse essi sono in relazione: quindi chiedere se $5$ e $11$ sono equivalenti significa chiedere se essi sono in relazione.
Essi sono in relazione sse esiste (almeno) un intero $x$ che rende vera l'uguaglianza (*) $(5-2)^2=(11-2)^2+3x$: questo intero esiste ed è l'intero $x= -18$, quindi $a$ e $b$ sono in relazione, i.e. sono equivalenti.
$x$ ha esattamente quel valore se hai risolto bene l'equazione (*).
A te concludere l'esercizio.
P.S.
Consiglio per un testo di riferimento: Hernestein - Algebra - Editori Riuniti
Consiglio per delle (a mio avviso) ottime dispense on-line: [url=http://www.mat.uniroma1.it/people/campanella/doku.php?id=dispense_corsi:algebra1:idx]Prof. G. Campanella[/url].
Essi sono in relazione sse esiste (almeno) un intero $x$ che rende vera l'uguaglianza (*) $(5-2)^2=(11-2)^2+3x$: questo intero esiste ed è l'intero $x= -18$, quindi $a$ e $b$ sono in relazione, i.e. sono equivalenti.
$x$ ha esattamente quel valore se hai risolto bene l'equazione (*).
A te concludere l'esercizio.
P.S.
Consiglio per un testo di riferimento: Hernestein - Algebra - Editori Riuniti
Consiglio per delle (a mio avviso) ottime dispense on-line: [url=http://www.mat.uniroma1.it/people/campanella/doku.php?id=dispense_corsi:algebra1:idx]Prof. G. Campanella[/url].
Grazie mille, sopratutto per le risposte sempre rigorose, ad ogni modo avevo sbagliato, ho ricontrollato e il risultato corretto è -24.
Grazie per il consiglio del testo e delle dispense, sicuramente ne terrò conto.
Grazie per il consiglio del testo e delle dispense, sicuramente ne terrò conto.
Fa lo stesso: significa che l'intero cercato per mettere in relazione $5$ e $11$ è $-24$.
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