Verifica proprietà di una relazione
In $\mathbb{R^2}$ sia $xEy \Leftrightarrow (x-y)(x^2-4y^2)=0$
Immagino quindi che la relazione $E$ sia il sottoinsieme $E \subseteq \mathbb{R^2}$ con $E={(x,y) \in \mathbb{R^2} : (x-y)(x^2-4y^2)=0}$ e di questo chiedo conferma, per comprendere se ho ben chiari i concetti.
Devo verificare le proprietà (i)riflessiva, (ii)simmetrica, (iii)transitiva ed (iv)antisimmetriva.
Per la (i) devo verificare che $\forall x \in \mathbb{R},(x-x)(x^2-4x^2)=0$ e ciò è certamente vero in quanto $x-x=0$ e dunque $(x-y)(x^2-ay^2)=0 \forall x \in \mathbb{R}$
Per la (ii) invece devo verificare che $\forall x,y \in \mathbb{R}$ se $(x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$, ora prima di procedere, è corretto il ragionamento dal punto di vista formale ?
Immagino quindi che la relazione $E$ sia il sottoinsieme $E \subseteq \mathbb{R^2}$ con $E={(x,y) \in \mathbb{R^2} : (x-y)(x^2-4y^2)=0}$ e di questo chiedo conferma, per comprendere se ho ben chiari i concetti.
Devo verificare le proprietà (i)riflessiva, (ii)simmetrica, (iii)transitiva ed (iv)antisimmetriva.
Per la (i) devo verificare che $\forall x \in \mathbb{R},(x-x)(x^2-4x^2)=0$ e ciò è certamente vero in quanto $x-x=0$ e dunque $(x-y)(x^2-ay^2)=0 \forall x \in \mathbb{R}$
Per la (ii) invece devo verificare che $\forall x,y \in \mathbb{R}$ se $(x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$, ora prima di procedere, è corretto il ragionamento dal punto di vista formale ?
Risposte
Provo a concludere in attesa di conferma.
La relazione $E$ è riflessiva:
$\forall x \in \mathbb{R}, (x-x)=0 \Rightarrow (x-x)(x^2-4x^2)=0$
La relazione $E$ è simmetrica:
$\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (x-y)=0 \vee (x^2-4y^2)=0$
$x-y=0 \Rightarrow x=y \Rightarrow y-x=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$
$(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (x-2y)(x+2y)=0 \Rightarrow y=1/2x \vee y=-1/2x$
$(x^2-4y^2)=[x^2-4 (\pm1/2 x)^2]=[x^2-4 (1/4 x^2)]=0$
In conclusione $\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$
La relazione $E$ non è antisimmetrica:
$\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \wedge (y-x)(y^2-4x^2)=0$ non implica necessariamente che $x=y$
La relazione $E$ non è transitiva:
$\forall x,y,z \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4x^2)=0 \vee (y-z)(y^2-4z^2)=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$
Se $(x-y)(x^2-4x^2)=0 \vee (y-z)(y^2-4z^2)=0$ abbiamo che:
$(x=y \vee y=\pm 1/2x) \wedge (y=z \vee z=\pm 1/2y)$
Abbiamo le seguenti possibilità:
[list=1]$x=y \wedge y=z \Rightarrow x=z \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
[list=2]$x=y \wedge z=\pm 1/2y \Rightarrow z=\pm 1/2x \Rightarrow x^2-x^2=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
[list=3]$y=\pm 1/2x \wedge y=z \Rightarrow z=\pm 1/2x \Rightarrow x^2-x^2=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
ma se $y= 1/2x \wedge z= 1/2y \Rightarrow z=1/2y=1/2(1/2x)=1/4x \Rightarrow (x-1/4x)(x^2-4x^2) \ne 0$
La relazione $E$ è riflessiva:
$\forall x \in \mathbb{R}, (x-x)=0 \Rightarrow (x-x)(x^2-4x^2)=0$
La relazione $E$ è simmetrica:
$\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (x-y)=0 \vee (x^2-4y^2)=0$
$x-y=0 \Rightarrow x=y \Rightarrow y-x=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$
$(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (x-2y)(x+2y)=0 \Rightarrow y=1/2x \vee y=-1/2x$
$(x^2-4y^2)=[x^2-4 (\pm1/2 x)^2]=[x^2-4 (1/4 x^2)]=0$
In conclusione $\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \Rightarrow (y-x)(y^2-4x^2)=0$
La relazione $E$ non è antisimmetrica:
$\forall x,y \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4y^2)=0 \wedge (y-x)(y^2-4x^2)=0$ non implica necessariamente che $x=y$
La relazione $E$ non è transitiva:
$\forall x,y,z \in \mathbb{R}, (x-y)(x^2-4x^2)=0 \vee (y-z)(y^2-4z^2)=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$
Se $(x-y)(x^2-4x^2)=0 \vee (y-z)(y^2-4z^2)=0$ abbiamo che:
$(x=y \vee y=\pm 1/2x) \wedge (y=z \vee z=\pm 1/2y)$
Abbiamo le seguenti possibilità:
[list=1]$x=y \wedge y=z \Rightarrow x=z \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
[list=2]$x=y \wedge z=\pm 1/2y \Rightarrow z=\pm 1/2x \Rightarrow x^2-x^2=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
[list=3]$y=\pm 1/2x \wedge y=z \Rightarrow z=\pm 1/2x \Rightarrow x^2-x^2=0 \Rightarrow (x-z)(x^2-4z^2)=0$[/list:o:25yl0tjs]
ma se $y= 1/2x \wedge z= 1/2y \Rightarrow z=1/2y=1/2(1/2x)=1/4x \Rightarrow (x-1/4x)(x^2-4x^2) \ne 0$
Verificare una proprietà di solito significa dimostrarla se è vera o trovare un controesempio se è falsa.
La relazione non è simmetrica e puoi provare a trovare un controesempio. Appartengono alla relazione tutti quei punti che stanno sulle rette passanti per l'origine con coefficiente angolare \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle 1/2 \) o \(\displaystyle -1/2 \), ma le ultime due rette non coincidono con le rispettive rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
La relazione non è simmetrica e puoi provare a trovare un controesempio. Appartengono alla relazione tutti quei punti che stanno sulle rette passanti per l'origine con coefficiente angolare \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle 1/2 \) o \(\displaystyle -1/2 \), ma le ultime due rette non coincidono con le rispettive rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
"bobus":
Verificare una proprietà di solito significa dimostrarla se è vera o trovare un controesempio se è falsa.
La relazione non è simmetrica e puoi provare a trovare un controesempio. Appartengono alla relazione tutti quei punti che stanno sulle rette passanti per l'origine con coefficiente angolare \(\displaystyle 1 \), \(\displaystyle 1/2 \) o \(\displaystyle -1/2 \), ma le ultime due rette non coincidono con le rispettive rette simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante.
Giusto ! grazie mille, ho anche sbagliato dei passaggi.
Dal punto di vista grafico risulta effettivamente molto chiara la questione.
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