Verifica monoide e sottoinsieme chiuso rispetto al prodotto
Nel prodotto cartesiano $ZxZ$ si consideri la seguente operazione:
$(a,b)*(c,d) = (a+c,bd)$
( dove le operazioni di somma e prodotto sono quelle usualmente definite in Z ).
i) Si verifichi che $(Z ,*)$ e' un monoide, e se ne caratterizzino gli elementi invertibili.
ii) Si verifichi che il sottoinsieme di $T = {(a,1) : a in Z }$ e' chiuso rispetto a $*$.
i) Per verificare che $(Z,*)$ è un monoide, devo verificare che $Z$ sia un semigruppo e contenga elemento neutro, quindi
devo verificare l'associatività e l'esistenza dell'elemento neutro.
ASSOCIATIVITA':
$(a,b)*[(c,d)*(e,f)]=[(a,b)*(c,d)]*(e,f)$
$(a,b)*[(c,d)*(e,f)]$ adesso non riesco a continuare. Qualcuno può dirmi come associare l'operazione all'associatività.
ii)
Per verificare che $T$ è un sottoinsieme chiuso rispetto a $*$ devo verificare che il prodotto tra qualsiasi coppia prendo, dia un risultato che è sempre presente in Z, giusto? Se si, come faccio a verificare???, prendo una coppia qualsiasi $(c,d)$ che moltiplicata ad $(a,1)$ dia sempre un risultato in $Z$???.
Grazie anticipatamente
$(a,b)*(c,d) = (a+c,bd)$
( dove le operazioni di somma e prodotto sono quelle usualmente definite in Z ).
i) Si verifichi che $(Z ,*)$ e' un monoide, e se ne caratterizzino gli elementi invertibili.
ii) Si verifichi che il sottoinsieme di $T = {(a,1) : a in Z }$ e' chiuso rispetto a $*$.
i) Per verificare che $(Z,*)$ è un monoide, devo verificare che $Z$ sia un semigruppo e contenga elemento neutro, quindi
devo verificare l'associatività e l'esistenza dell'elemento neutro.
ASSOCIATIVITA':
$(a,b)*[(c,d)*(e,f)]=[(a,b)*(c,d)]*(e,f)$
$(a,b)*[(c,d)*(e,f)]$ adesso non riesco a continuare. Qualcuno può dirmi come associare l'operazione all'associatività.
ii)
Per verificare che $T$ è un sottoinsieme chiuso rispetto a $*$ devo verificare che il prodotto tra qualsiasi coppia prendo, dia un risultato che è sempre presente in Z, giusto? Se si, come faccio a verificare???, prendo una coppia qualsiasi $(c,d)$ che moltiplicata ad $(a,1)$ dia sempre un risultato in $Z$???.
Grazie anticipatamente
Risposte
L'associatività dovrebbe essere così:
se $(a,b)*(c,d)=(a+c,bd)$ allora $[(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(a+c,bd)(e,f)=(a+c+e,bdf)$
e ovviamente vale nell'altro verso.
se $(a,b)*(c,d)=(a+c,bd)$ allora $[(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(a+c,bd)(e,f)=(a+c+e,bdf)$
e ovviamente vale nell'altro verso.
riguardo al ii) punto?
Per il secondo quesito l'operazione binaria $*$ è chiusa rispetto al sottoinsieme $T$ in cui è definita, quindi le coppie di interi che ottieni dovranno appartenere a $T$.
$T$ essendo un sottoinsieme di $ZxZ$, dovrà contenere coppie con coordinate in $ZxZ$ mi spiego meglio,
se ho: $(a,1)*(c,d)$ qualsiasi sia la coppia $(c,d)$ ottengo un risultato che è sempre in $ZxZ$ no?
se ho: $(a,1)*(c,d)$ qualsiasi sia la coppia $(c,d)$ ottengo un risultato che è sempre in $ZxZ$ no?
Scusa ma la chiusura di un insieme rispetto ad una certa operazione binaria non è sempre riferita all'insieme? Voglio dire, se ho $a in A$ e $b in A$ e $a+b in A$ allora $A$ è chiuso rispetto l'operazione $+$. Non è così? 
si! quindi, io come faccio a verificare che T è chiuso rispetto al prodotto???
Teoricamente Sia $A$ un insieme e $B$ un sottoinsieme di $A$ diremo che B è chiusro rispetto all'operazione $*$ se $EE b,b' in B : b*b' in B$.
Teoricamente Sia $A$ un insieme e $B$ un sottoinsieme di $A$ diremo che B è chiusro rispetto all'operazione $*$ se $EE b,b' in B : b*b' in B$.
Se $T={(a,1) | a in ZZ} = {(0,1),(1,1),(-1,1),(2,1),(-2,1),(3,1),(-3,1),...}$
L'operazione binaria $*$ è definita, in $ZZ xx ZZ$, come $(a,b)*(c,d)=(a+c,bd)$ quindi in $T xx T$ sarà (spero
) $(a,1)*(c,1)=(a+c,1)$, e da come è definito $T$ è evidente che:
$AAa,b in T => a*b in T$
Esempio: $(3,1)*(2,1)=(3+2,1) in T$
L'operazione binaria $*$ è definita, in $ZZ xx ZZ$, come $(a,b)*(c,d)=(a+c,bd)$ quindi in $T xx T$ sarà (spero
) $(a,1)*(c,1)=(a+c,1)$, e da come è definito $T$ è evidente che:$AAa,b in T => a*b in T$
Esempio: $(3,1)*(2,1)=(3+2,1) in T$
Quindi per verificare che $T$ è chiuso rispetto al prodotto, devo sempre rifarmi all'operazione iniziale $(a,b)*(c,d)=(a+c,1)$
e in $T$ ovviamente prenderò coppie del tipo $(a,1), (c,1)$...
e in $T$ ovviamente prenderò coppie del tipo $(a,1), (c,1)$...
Si.
Riguardo al punto i), per gli elementi invertibili, come si procede?
Gaten ora non so se sia giusto, comunque ho pensato a questo.
Siccome sappiamo che, in generale in un campo gli elementi invertibili sono quelli che moltiplicati per un generico elemento del campo danno l'elemento neutro:
$AAa in A, EEa^-1 in A$ tale che $a*a^-1=1$ dove $A$ è un campo.
Nel tuo caso abbiamo che l'operazione in $ZZ xx ZZ$ è definita come $(a,b)*(c,d)=(a+c,b*d)$ quindi dobbiamo trovare un elemento $(a,b)^-1$ tale che $(a,b)*(a,b)^-1=(0,1)$, dove la coppia $(0,1)$ dovrebbe essere l'elemento neutro (è meglio se uso il condizionale ).
Ora se il nostro $(a,b)^-1$ fosse definito come $(a,b)^-1=(-a,b^-1)$ avremmo che:
$AA(a,b) in ZZ xx ZZ, (a,b)*(a,b)^-1=(a,b)*(-a,b^-1)=(a+(-a),b*b^-1)=(0,1)$
ma non so se sia ammissibile quell'elemento inverso così definito.....
Siccome sappiamo che, in generale in un campo gli elementi invertibili sono quelli che moltiplicati per un generico elemento del campo danno l'elemento neutro:
$AAa in A, EEa^-1 in A$ tale che $a*a^-1=1$ dove $A$ è un campo.
Nel tuo caso abbiamo che l'operazione in $ZZ xx ZZ$ è definita come $(a,b)*(c,d)=(a+c,b*d)$ quindi dobbiamo trovare un elemento $(a,b)^-1$ tale che $(a,b)*(a,b)^-1=(0,1)$, dove la coppia $(0,1)$ dovrebbe essere l'elemento neutro (è meglio se uso il condizionale
).Ora se il nostro $(a,b)^-1$ fosse definito come $(a,b)^-1=(-a,b^-1)$ avremmo che:
$AA(a,b) in ZZ xx ZZ, (a,b)*(a,b)^-1=(a,b)*(-a,b^-1)=(a+(-a),b*b^-1)=(0,1)$
ma non so se sia ammissibile quell'elemento inverso così definito.....
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