Verifica di regole di algebra nei gruppi.
Salve a tutti,
ho il seguente esercizio, per favore mi date un aiuto per la sua risoluzione corretta?
Verifica di regole di algebra nei gruppi:
devo verificare che la regola [tex](ab)^{2} = a^{2}b^{2}[/tex] sia valida in ogni gruppo G, o dare un controesempio per mostrare che è falso in alcuni gruppi.
Non se è corretto, il seguente è il procedimento che ho intrapreso:
Ho considerato come gruppo di esempio = {-1, 0, 1, 2, 3}
come tabella operazionale ho considerato la seguente:
(i punti e gli underscore li ho utilizzati per allineare correttamente la tabella...)
._+_|_-1__0__1__2
_-1_|_-2_.-1__0__1
._0_|_-1__0__1__2
._1_|_.0__1__2__3
._2_|_.1__2__3__0
._3_|_.2__3__0__1
e verificato la regola facendo le operazioni guardano la tabella:
ho considerato due elementi a,b in Z_4 ed ho sostituito nella regola da verificare della traccia:
(-1 * -1)^2 = (-1)^2 * -1^2 <=> 1=1
(-1 * 0)^2 = (-1)^2 * -1^2 <=> 1=1
...
(1 * 2)^2 = 1^2 * 2^2 <=> 4=4 <=> 0=0
(2 * -1)^2 = 2^2 * (-1)^2 <=> 4=4 <=> 0=0
...
procedendo per tutte le coppie,
effettivamente entrambi i membri sono uguali seguendo la regola data, perciò la regola data è valida.
è giusto il modo di procedere per verificare la validita della regola?
come faccio a dare un controesempio in cui la regola descritta non funziona?
se avessi considerato la seguente: (ab)^2 = abab, come faccio a verificare la validità?
grazie mille.
ho il seguente esercizio, per favore mi date un aiuto per la sua risoluzione corretta?
Verifica di regole di algebra nei gruppi:
devo verificare che la regola [tex](ab)^{2} = a^{2}b^{2}[/tex] sia valida in ogni gruppo G, o dare un controesempio per mostrare che è falso in alcuni gruppi.
Non se è corretto, il seguente è il procedimento che ho intrapreso:
Ho considerato come gruppo di esempio
come tabella operazionale ho considerato la seguente:
(i punti e gli underscore li ho utilizzati per allineare correttamente la tabella...)
._+_|_-1__0__1__2
_-1_|_-2_.-1__0__1
._0_|_-1__0__1__2
._1_|_.0__1__2__3
._2_|_.1__2__3__0
._3_|_.2__3__0__1
e verificato la regola facendo le operazioni guardano la tabella:
ho considerato due elementi a,b in Z_4 ed ho sostituito nella regola da verificare della traccia:
(-1 * -1)^2 = (-1)^2 * -1^2 <=> 1=1
(-1 * 0)^2 = (-1)^2 * -1^2 <=> 1=1
...
(1 * 2)^2 = 1^2 * 2^2 <=> 4=4 <=> 0=0
(2 * -1)^2 = 2^2 * (-1)^2 <=> 4=4 <=> 0=0
...
procedendo per tutte le coppie,
effettivamente entrambi i membri sono uguali seguendo la regola data, perciò la regola data è valida.
è giusto il modo di procedere per verificare la validita della regola?
come faccio a dare un controesempio in cui la regola descritta non funziona?
se avessi considerato la seguente: (ab)^2 = abab, come faccio a verificare la validità?
grazie mille.
Risposte
Questa regola è banalmente vera in tutti i gruppi abeliani (come ad esempio $ZZ_4$ ... ) Infatti partendo da $ab=ba$ e moltiplicando a destra per $a$ ed a sinistra per $b$ ottieni $aa b b = abab$ cioè $a^2b^2 = (ab)^2$ . Pertanto se vuoi trovare un controesempio devi pensare ad un gruppo non abeliano. Per esempio nel gruppo $GL(2, ZZ)$ delle matrici $2 xx 2$ invertibili ad entrate in $ZZ$, poni $a = ((1,1),(0,1))$ e $b=((1,0),(1,1))$ .
\( a = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \,\, b = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)
ho provato a verificare la seguente identità:
\( (ab)^{2} = a^2b^2 \iff \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{2} \)
ed anche
\( (ab)^{2} = abab \iff \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
ottenendo lo stesso in entrambi i membri:
\( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
facendo invece \( (ba)(ba) = bbaa \) ho ottenuto nei due membri due cose diverse:
\( (ba)(ba) = bbaa \iff \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)
in conclusione ho ottenuto che:
in questo gruppo valgono le seguenti
\( aabb=abab \)
\( bbaa \ne baba \)
quindi a quanto pare anche in un gruppo non abeliano come questo appena visto vale \( aabb=abab \) quindi è valida la regola nella traccia \( (ab)^2 = a^2b^2 \) ?. stando a quanto ho calcolato io la risposta è sì. è corretto?
ho provato a verificare la seguente identità:
\( (ab)^{2} = a^2b^2 \iff \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^{2} \)
ed anche
\( (ab)^{2} = abab \iff \begin{bmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{bmatrix}^{2} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
ottenendo lo stesso in entrambi i membri:
\( \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)
facendo invece \( (ba)(ba) = bbaa \) ho ottenuto nei due membri due cose diverse:
\( (ba)(ba) = bbaa \iff \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \)
in conclusione ho ottenuto che:
"perplesso":
Per esempio nel gruppo GL(2,Z) delle matrici 2×2 invertibili ad entrate in Z, poni a=(1011) e b=(1101) .
in questo gruppo valgono le seguenti
\( aabb=abab \)
\( bbaa \ne baba \)
quindi a quanto pare anche in un gruppo non abeliano come questo appena visto vale \( aabb=abab \) quindi è valida la regola nella traccia \( (ab)^2 = a^2b^2 \) ?. stando a quanto ho calcolato io la risposta è sì. è corretto?
A me i conti vengono diversi....
$[ ((1,1),(0,1)) ((1,0),(1,1)) ]^2 = ((2,1),(1,1))^2 = ((5,3),(3,2))$
mentre
$((1,1),(0,1))^2 ((1,0),(1,1))^2 = ((1,2),(0,1)) ((1,0),(2,1)) = ((5,2),(2,1))$
potrei pure sbagliarmi non lo so ... cmq per le leggi di cancellazione quell'ugualianza è vera se e solo se $a$ e $b$ sono permutabili, trova due elementi non permutabili in un gruppo a tua scelta ed hai fatto. Ciao.
$[ ((1,1),(0,1)) ((1,0),(1,1)) ]^2 = ((2,1),(1,1))^2 = ((5,3),(3,2))$
mentre
$((1,1),(0,1))^2 ((1,0),(1,1))^2 = ((1,2),(0,1)) ((1,0),(2,1)) = ((5,2),(2,1))$
potrei pure sbagliarmi non lo so ... cmq per le leggi di cancellazione quell'ugualianza è vera se e solo se $a$ e $b$ sono permutabili, trova due elementi non permutabili in un gruppo a tua scelta ed hai fatto. Ciao.
chiaro.
da provare quest'altra regola, ma credo che non sia vera anche senza l'utilizzo del gruppo delle matrici.
Esercizio:
per ogni elemento x in G, c'è qualche elemento y in G tale che x=y^2.
svolgimento:
Ho considerato ancora una volta il gruppo \(, Z_4 = \{0,1,2,3\} \)
ho preso in considerazione la tavola additiva per un riscontro "visivo" circa la chiusura del gruppo citato:
+ | 0 1 2 3
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2
ho preso in considerazione la tavola moltiplicativa per vedere subito i quadrati dei termini:
* | 0 1 2 3
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3
2 | 0 2 0 2
3 | 0 3 2 1
quindi in sostanza per ogni elemento x in G deve esserci uno o più elementi y in G tali che x=y^2
facendo i vari calcoli, ho constatato che non è sempre così:
\( 0 = 0^2 \iff 0 = 0 \)
\(0 = 2^2 \iff 0 = 4 \iff 0 = 0 \)
\(1 = 1^2 \iff 1 = 1 \)
\(1 = 3^2 \iff 1 = 9 \iff 1 = 1 \)
\(2 = \) guardando alla tavolta operativa della moltiplicazione, non c'è alcun y che al quadrato mi dà 2
\(3 = \) stessa cosa. non c'è alcun y che al quadrato mi dà 3
in conclusione la regola non è valida per ogni gruppo G, neanche per questo gruppo anche se abeliano. giusto?
ho considerato anche un altro
esercizio:
qualsiasi siano due elementi x,y in G, c'è un elemento z in G tale che y=xz
considerando il gruppo e lo stesso insieme e quindi le stesse tavole operative, ho riscontrato che anche in questo caso questa regola non è sempre valida per ogni gruppo G. infatti:
\( y=zx \)
\( x=0, \, \, y=0 \Rightarrow 0=0z \iff 0=0 \)
\( x=0, \, \, y=1 \Rightarrow 1=0z \iff 1=0 \) il secondo membro non risulta essere uguale a y=1
perciò la regola nella traccia non è valida sempre. giusto?
da provare quest'altra regola, ma credo che non sia vera anche senza l'utilizzo del gruppo delle matrici.
Esercizio:
per ogni elemento x in G, c'è qualche elemento y in G tale che x=y^2.
svolgimento:
Ho considerato ancora una volta il gruppo \(
ho preso in considerazione la tavola additiva per un riscontro "visivo" circa la chiusura del gruppo citato:
+ | 0 1 2 3
0 | 0 1 2 3
1 | 1 2 3 0
2 | 2 3 0 1
3 | 3 0 1 2
ho preso in considerazione la tavola moltiplicativa per vedere subito i quadrati dei termini:
* | 0 1 2 3
0 | 0 0 0 0
1 | 0 1 2 3
2 | 0 2 0 2
3 | 0 3 2 1
quindi in sostanza per ogni elemento x in G deve esserci uno o più elementi y in G tali che x=y^2
facendo i vari calcoli, ho constatato che non è sempre così:
\( 0 = 0^2 \iff 0 = 0 \)
\(0 = 2^2 \iff 0 = 4 \iff 0 = 0 \)
\(1 = 1^2 \iff 1 = 1 \)
\(1 = 3^2 \iff 1 = 9 \iff 1 = 1 \)
\(2 = \) guardando alla tavolta operativa della moltiplicazione, non c'è alcun y che al quadrato mi dà 2
\(3 = \) stessa cosa. non c'è alcun y che al quadrato mi dà 3
in conclusione la regola non è valida per ogni gruppo G, neanche per questo gruppo anche se abeliano. giusto?
ho considerato anche un altro
esercizio:
qualsiasi siano due elementi x,y in G, c'è un elemento z in G tale che y=xz
considerando il gruppo
\( y=zx \)
\( x=0, \, \, y=0 \Rightarrow 0=0z \iff 0=0 \)
\( x=0, \, \, y=1 \Rightarrow 1=0z \iff 1=0 \) il secondo membro non risulta essere uguale a y=1
perciò la regola nella traccia non è valida sempre. giusto?
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