Verifica della suriettività di una funzione.

[Pasquale 90]

Buongiorno,

Dovrei verificare che, se $m/n$ è un razionale positivo e $(m,n)$ denota il $M.C.D.$ positivo di $m,n$ il numero inetero $|m+n|/(m,n)$ dipende soltanto dalla frazione $m/n$ e non dalla scelta di un suo rappresentante.
Provare quindi che l'applicazione

$f:m/n in QQ^+ to |m+n|/(m,n) in NN -{1}$

è suriettiva e non iniettiva.

Dall'algoritmo di Euclide ho $r=M.C.D(m,n)$ allora risulta $r ne 0$ , sia $y in NN-{1}$ allora

\(\displaystyle y=|m+n|/r \leftrightarrow yr=|m+n| \leftrightarrow \begin{cases} yr=m+n, & \mbox{se }m+n \ge 0 \\ yr=-m-n, & \mbox{se }m+n<0 \end{cases} \)

essendo per ipotesi che $m/n>0$ allora 1) $m,n>0$ o 2) $m,n<0$ divido ambo i membri per $n$
$(yr-n)/n=m/n\ \ qquad "se" \ qquad m+n ge 0 $
$(yr+1)/n=-m/n \ qquad "se" \ qquad m+n < 0$

sono un pò incerto su quanto scritto, cioè non se i passaggi che ho fatto sono formali e in più non saprei se la quantita che ho determinata cioè $pm m/n$ effettivamente appartenga a $QQ^+$

Ciao.

[marco.ruggiero]

$m$ e $n$ non ti vengono dati per ipotesi,ma li devi trovare tu, quindi il ragionamento che hai fatto è sbagliato. La soluzione è banale, e te la metto in spoiler, nel caso tu voglia riprovarci seguendo le suddette direttive.

Dato $y in NN-{1}$ basta porre $m=y-1 , n=1${