Varietà di algebre.
Salve, in una delle slide del mio prof. di Algebra ho letto una cosa che non riesco a spiegarmi.
Cito testualmente:
"Abbiamo visto che per i monoidi esiste un monoide speciale (N)
tale che dato un monoide M dare un elemento di M equivale ad un
omomorfismo N --> M
Abbiamo lo stesso per altre varietà di algebre?
I Monoidi? N
I Semigruppi? N+, i naturali positivi.
I Gruppi? Z
I Anelli con identità Z[x], i polinomi in una variabile.
I Magma? Alberi binari
I Anelli? xZ[x]"
Poi quell' "abbiamo visto" non mi sembra molto familiare poichè non ricordo nulla del genere fatto a lezione.
Aiuto!
Cito testualmente:
"Abbiamo visto che per i monoidi esiste un monoide speciale (N)
tale che dato un monoide M dare un elemento di M equivale ad un
omomorfismo N --> M
Abbiamo lo stesso per altre varietà di algebre?
I Monoidi? N
I Semigruppi? N+, i naturali positivi.
I Gruppi? Z
I Anelli con identità Z[x], i polinomi in una variabile.
I Magma? Alberi binari
I Anelli? xZ[x]"
Poi quell' "abbiamo visto" non mi sembra molto familiare poichè non ricordo nulla del genere fatto a lezione.
Aiuto!
Risposte
Ciao! a meno di un caso incredibile di isomorfismo tra corsi, scommetto che il tuo si chiama in realtà aritmetica, e la slide è la numero 5. 
Me la ricordo questa lezione, aveva fatto gli esempi alla lavagna.
Ti posso dare una mano, per quel che ho capito io nello specifico:
prendi pagina 24 della stessa slide, lì definisce alcune varietà di algebre. poi nel pezzo che hai citato dà degli esempi: il primo passo è verificare che in effetti quegli insiemi con l'appropriata operazione(che devi trovarti da solo...
)rispettano le proprietà richieste. Questi esempi sono importanti, perchè per ogni algebra di quel tipo puoi costruire un omomorfismo tra l'esempio rappresentativo e questa algebra.
Ad esempio: $NN^+$, verifichi che è un semigruppo con l'operazione $+$ perchè ha la legge di composizione interna e l'identità associativa.
poi provi a prendere un'algebra $\Omega$, e vedi che c'è un omomorfismo $\phi: NN^+ to \Omega$, che puoi definire un po come vuoi, le proprietà da rispettare sono davero poche.
Non è una verifica difficile, è abbastanza immediata
Me la ricordo questa lezione, aveva fatto gli esempi alla lavagna.
Ti posso dare una mano, per quel che ho capito io nello specifico:
prendi pagina 24 della stessa slide, lì definisce alcune varietà di algebre. poi nel pezzo che hai citato dà degli esempi: il primo passo è verificare che in effetti quegli insiemi con l'appropriata operazione(che devi trovarti da solo...
)rispettano le proprietà richieste. Questi esempi sono importanti, perchè per ogni algebra di quel tipo puoi costruire un omomorfismo tra l'esempio rappresentativo e questa algebra.Ad esempio: $NN^+$, verifichi che è un semigruppo con l'operazione $+$ perchè ha la legge di composizione interna e l'identità associativa.
poi provi a prendere un'algebra $\Omega$, e vedi che c'è un omomorfismo $\phi: NN^+ to \Omega$, che puoi definire un po come vuoi, le proprietà da rispettare sono davero poche.
Non è una verifica difficile, è abbastanza immediata
Grazie per la risposta. In effetti si seguiamo/abbiamo seguito lo stesso corso. Quello che non mi spiego è perchè siano proprio quelle le algebre speciali per ogni famiglia di algebre. Ad esempio perchè per gli anelli ho xZ[x] e non un qualsiasi altro anello?
Se tutte le algebre di un certo tipo sono omomorfe a una in particolare, sono tutte in qualche modo omomorfe tra loro no?
quindi se ne sceglie soltanto una per tipo, quella con cui abbiamo più confidenza, più intuitiva, in modo da avere sempre un esempio in mente, e una struttura che conosciamo abbastanza bene pronta per ogni evenienza.
credo sia questo il senso.
quindi se ne sceglie soltanto una per tipo, quella con cui abbiamo più confidenza, più intuitiva, in modo da avere sempre un esempio in mente, e una struttura che conosciamo abbastanza bene pronta per ogni evenienza.
credo sia questo il senso.
mm..non mi convince moltissimo ma comunque ti ringrazio per la risposta:)
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