Varietà algebriche e molteplicità di intersezione
Salve a tutti,
prossimamente dovrò affrontare l'esame di Algebra Commutativa e, come si può ben immaginare, molti dubbi affollano ancora la mia mente. Facendo gli esercizi dei temi d'esame (provandoci almeno) ho riscontrato sempre due esercizi con la stessa richiesta e volevo sapere se potevate dirmi come risolverli, anche perché sul libro non c'è alcun esempio e non riesco a capire se faccio giusto o cosa.
- Trovare le componenti irriducibili e la dimensione della varietà algebrica di $ K^2 $ , algebricamente chiuso, definita dall'ideale $ (X^2 Y^2 -1, X^2 -1)$ di $ K[X,Y] $
- Calcolare la molteplicità di intersezione delle due superfici irriducibili $ V(XY-Z^2) $ e $ V(XY+Z^2) $ di $K^3$ lungo la sottovarietà $V(X,Z)$, nel caso K, algebricamente chiuso, abbia caratteristica $ != 2$
*Con $V(...)$ intendo varietà algebrica.*
Grazie mille in anticipo!
prossimamente dovrò affrontare l'esame di Algebra Commutativa e, come si può ben immaginare, molti dubbi affollano ancora la mia mente. Facendo gli esercizi dei temi d'esame (provandoci almeno) ho riscontrato sempre due esercizi con la stessa richiesta e volevo sapere se potevate dirmi come risolverli, anche perché sul libro non c'è alcun esempio e non riesco a capire se faccio giusto o cosa.
- Trovare le componenti irriducibili e la dimensione della varietà algebrica di $ K^2 $ , algebricamente chiuso, definita dall'ideale $ (X^2 Y^2 -1, X^2 -1)$ di $ K[X,Y] $
- Calcolare la molteplicità di intersezione delle due superfici irriducibili $ V(XY-Z^2) $ e $ V(XY+Z^2) $ di $K^3$ lungo la sottovarietà $V(X,Z)$, nel caso K, algebricamente chiuso, abbia caratteristica $ != 2$
*Con $V(...)$ intendo varietà algebrica.*
Grazie mille in anticipo!
Risposte
Quello che avevo pensato, per risolvere il primo, era di utilizzare la definizione di varietà algebrica, cioè è il luogo degli zeri di un ideale. Ponendo a zero ottengo:
$X^2=1$ e di conseguenza
$Y^2=1$
Ciò mi porterebbe ad avere quattro punti, $(1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1)$ , di cui due differiscono dagli altri due soltanto per un fattore moltiplicativo -1. A questo punto sarei portato a pensare che la risposta alla domanda sia:
(1,1) (1,-1), dimensione 0 perché punti (?)
é giusto il procedimento? Per il secondo invece non ho proprio idee!
$X^2=1$ e di conseguenza
$Y^2=1$
Ciò mi porterebbe ad avere quattro punti, $(1,1) (1,-1) (-1,1) (-1,-1)$ , di cui due differiscono dagli altri due soltanto per un fattore moltiplicativo -1. A questo punto sarei portato a pensare che la risposta alla domanda sia:
(1,1) (1,-1), dimensione 0 perché punti (?)
é giusto il procedimento? Per il secondo invece non ho proprio idee!
up
Risolta, potete chiudere qui 
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