Valutazione euclidea su $ZZ$

[Angus1956]

Consideriamo la funzione $\rho:ZZ->ZZ$ data da $\rho(m)=n iff 2^n<=abs(m)<2^(m+1)$ per ogni $m!=0$, e $\rho(0)=-1$. Mostrare che $\rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$.
Intanto c'è qualcosa che non mi rida, ad esempio se prendiamo $m<=-1$ abbiamo che $abs(m)>=1$ e $2^(m+1)<=1$ per cui si avrebbe che $abs(m)>=2^(m+1)$ che proprio il contrario della richiesta $abs(m)<2^(m+1)$. Da questo deduco che $m>=0$ se però prendo $m=1$ posso porre $\rho(1)=-1$ poichè $1/2<=1<4$. Ma allora si avrebbe che $\rho(0)=\rho(1)$ il che contraddice la proprietà di valutazione euclidea secondo cui $\rho(0)<\rho(a)$ per ogni $0!=ainZZ$. Qualcuno mi sa dire se ho interpretato male io o cosa?

[megas_archon]

\(\rho(m)=n \iff 2^n \le |m| <2^{{\color{red}n}+1}\).

[Angus1956]

"megas_archon":\(\rho(m)=n \iff 2^n \le |m| <2^{{\color{red}n}+1}\).

Guarda tu stesso:

[megas_archon]

A volte ci sono errori di battitura nelle consegne degli esercizi. Se uno ci pensa, non ci può credere!

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

[Angus1956]

"megas_archon":

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

Beh in teoria se chiamo $n_max$ l'intero $n$ massimo tale che $abs(m)>=2^(n_(max))$ allora se considero un qualunque $n

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[Angus1956]

"andreadel1988":

Sono riuscito a fare tutto però non mi convince molto la parte della valutazione euclidea quando devo mostrare che dati $a,binZZ$ con $b!=0$ esistono $r,qinZZ$ tale che $a=qb+r$ con $rho(r)=2^(rho(r)+1)>2^(rho(r))$ per cui $rho(b)>rho(r)$. Però non so, non sono molto convinto ma è l'unica cosa che mi è venuta in mente, sapete dirmi?

[Angus1956]

"megas_archon":A volte ci sono errori di battitura nelle consegne degli esercizi. Se uno ci pensa, non ci può credere!

Più seriamente, dovresti mostrare che esiste un solo $n=n(m)$ tale che \(2^n\le |m|<2^{n+1}\). Tale $n$ è definito come la valutazione di $m$.

Scusami megas_archon ma mi sapresti dire se quello che ho detto va bene oppure c'è qualcosa da rivedere?

[megas_archon]

"andreadel1988":[quote="andreadel1988"]

Sono riuscito a fare tutto però non mi convince molto la parte della valutazione euclidea quando devo mostrare che ...[/quote] Non ti viene chiesto niente del genere, mi sembra. Ti viene chiesto di mostrare che, se la divisione $a=qb+r$ si può scegliere in modo che \(\rho r < \rho b\), allora \(|r|<|b|\).

[Angus1956]

"megas_archon":Non ti viene chiesto niente del genere, mi sembra. Ti viene chiesto di mostrare che, se la divisione $a=qb+r$ si può scegliere in modo che \(\rhp r < \rho b\), allora \(|r|<|b|\).

No quello l ho fatto, però in teoria per dimostrare che $rho$ è una valutazione euclidea su $ZZ$ si devono mostrare $3$ cose:
1)$rho(0) 2)$rho(a)<=rho(ab)$ con $b!=0$
3)Per ogni $a,binZZ$ esistono $r,qinZZ$ tale che $a=bq+r$ con $rho(r) Io appunto come ho scritto ho un dubbio sul 3)