Valutazione degli interi di gauss

[Ernesto011]

Gli interi di gauss sono un dominio euclideo secondo la valutazione $ v(x)=a^2+b^2 $.
Però non c'è una biunivocità tra v(x) e gli interi di gauss, infatti $ v(a+ib)=v(b+ia) $
Quindi ho pensato che potesse esistere una valutazione migliore dato che $ Z ~~ Z^2~~ N $
Il problema che mi sono posto è trovare una funzione biunivoca $ f:Z->N $ che soddisfa le condizioni della funzione $ v(x) $
Il discorso ha senso? Esiste una funzione di questo tipo?

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Di solito a una funzione euclidea (quella che tu chiami valutazione) si richiede che sia [tex]v(a) \leq v(ab)[/tex] per ogni [tex]a,b[/tex] non nulli. Se questa condizione vale allora [tex]v[/tex] è biunivoca solo se l'unico elemento invertibile dell'anello è [tex]1[/tex] (e questo è falso per gli interi di Gauss). Infatti dato [tex]u[/tex] un elemento invertibile si ha [tex]v(1) \leq v(1 \cdot u) = v(u) \leq v(u \cdot u^{-1}) = v(1)[/tex] per cui [tex]v(u) = v(1)[/tex].

Ma non capisco, come mai una valutazione biunivoca dovrebbe essere "migliore"? Quali sono i vantaggi? Anche l'usuale valutazione in Z (il valore assoluto) non è biunivoca.

[Ernesto011]

Si vero, gli elementi irriducibili hanno valutazione minima e quindi se fossero più di uno non ci sarebbe biunivocità. Forse prima di supporre qualcosa dovrei pensare bene sull'esistenza di quel che dico
Quando in un dominio euclideo , dati comunque due elementi $ a,b $ , dico che esistono $ q,r $ tali che $ a=bq+r $ e $ v(b)>v(r) $ intendo dire che esistono e sono unici oppure potrebbero esistere anche altre coppie che soddisfano l'equazione?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Potrebbero esistere altre coppie. Dai un'occhiata qui (in particolare il teorema 2.2 e i commenti che seguono).