Valore nell'unità di un omomorfismo tra gruppoidi unitari
Salve a tutti. Se $(S, \cdot)$ e $(T, \cdot)$ sono gruppoidi unitari, ed $f: S
\to T$ un omomorfismo, possiamo affermare che è sicuramente $f(1) = 1$? Se sì, come posso dimostrarlo?
Grazie di eventuali risposte,
Rodolfo
\to T$ un omomorfismo, possiamo affermare che è sicuramente $f(1) = 1$? Se sì, come posso dimostrarlo?
Grazie di eventuali risposte,
Rodolfo
Risposte
Gruppoide lo intendi nel senso della teoria delle categorie?
Per gruppoide intendo una struttura algebrica ad una operazione interna. Unitario vuol dire che, denotato moltiplicativamente come in questo caso, è dotato di elemento neutro.
Ciao Rodolfo Medina 
Sì, la tesi $f(1) = 1$ è vera e questo si può dimostrare (a mio avviso anche in maniera piuttosto semplice). Fatte salve le ipotesi, se esiste un omomorfismo allora deve essere (d'accordo con la definizione dello stesso) che $\forall a,b \in S: f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$. Ora basta che consideri i casi in cui si ha $a = 1$ oppure $b = 1$ e la dimostrazione viene praticamente fuori da sola (considerando che $1$ è elemento neutro si avrà $f(a \cdot 1) = f(a)$, ecc). Lascio a te gli ultimi passaggi. Dico di contemplare entrambi i casi solo perché siamo in una struttura (quella del gruppoide appunto) in cui, salvo ulteriori assunzioni, le operazioni sull'insieme sostegno della stessa non sono in generale commutative.
Ovviamente chiedi pure se qualcosa non dovesse esserti chiaro, intanto spero di esserti stato d'aiuto.
Sì, la tesi $f(1) = 1$ è vera e questo si può dimostrare (a mio avviso anche in maniera piuttosto semplice). Fatte salve le ipotesi, se esiste un omomorfismo allora deve essere (d'accordo con la definizione dello stesso) che $\forall a,b \in S: f(a \cdot b) = f(a) \cdot f(b)$. Ora basta che consideri i casi in cui si ha $a = 1$ oppure $b = 1$ e la dimostrazione viene praticamente fuori da sola (considerando che $1$ è elemento neutro si avrà $f(a \cdot 1) = f(a)$, ecc). Lascio a te gli ultimi passaggi. Dico di contemplare entrambi i casi solo perché siamo in una struttura (quella del gruppoide appunto) in cui, salvo ulteriori assunzioni, le operazioni sull'insieme sostegno della stessa non sono in generale commutative.
Ovviamente chiedi pure se qualcosa non dovesse esserti chiaro, intanto spero di esserti stato d'aiuto.
Io senza l'ipotesi che $T$ sia regolare non riesco a provarlo.
Grazie,
Rodolfo
Grazie,
Rodolfo
Capito, io quello lo chiamo magma. L'importante è capirsi. Comunque non è qualcosa che puoi dimostrare o meno. In genere è qualcosa che viene supposto l'omomorfismo soddisfi. La definizione di omomorfismo dipende dalla struttura su cui è definita. L'unica cosa che puoi dimostrare è che l'immagine di uno si comporta come l'elemento neutro nell'immagine del grupoide. Ma non è detto che lo sia per ogni elemento. Deve essere inoltre idempotente.
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