Urgente e importante :) n^2<2^n
ciao a tutti!!
per me è un concetto chiaro e lampante ma scrivere solamente questo alla prof non è stato sufficente.
per me appunto un esponenziale è mooolto più grande di un polinomiale quindi non c'è bisogno di dire altro.
per lei non è stato così
per induzione dimostro per 0 e va bene, poi dopo il 7° passaggio è dimostrato per tutti.
a n+1 ottengo n^2+2n+1<2^(n+1)
ma poi? per me rimane cmq evidente ma penso bisogni dire altro per sciogliere ogni dubbio.....
help per piacere!!! mi serve per domani mattina prestissimo quindi per sta sera pterlo sapere sarebbe il max
grazie mille e buono studio!
per me è un concetto chiaro e lampante ma scrivere solamente questo alla prof non è stato sufficente.
per me appunto un esponenziale è mooolto più grande di un polinomiale quindi non c'è bisogno di dire altro.
per lei non è stato così
per induzione dimostro per 0 e va bene, poi dopo il 7° passaggio è dimostrato per tutti.
a n+1 ottengo n^2+2n+1<2^(n+1)
ma poi? per me rimane cmq evidente ma penso bisogni dire altro per sciogliere ogni dubbio.....
help per piacere!!! mi serve per domani mattina prestissimo quindi per sta sera pterlo sapere sarebbe il max
grazie mille e buono studio!
Risposte
$n^2 < 2^n$ supposto vero questo, hai che $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
Ma $2^(n+1) = 2(2^n) = 2^n + 2^n$
Per l'ipotesi induttiva hai che $n^2 < 2^n$ dunque $n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1$
Quindi anche $n^2 + n + 1 < 2^n + 2n + 1$ (perchè $n<2n$ nei naturali positivi ...sempre..)
Per la diseguaglianza di Bernoulli $(1+nx)<(1+x)^n$ vista per $x=1$ si ha che $1 + n < 2^n$
Solo adesso l'hai daverod imsotrato per induzione. Ci sei?
Ma $2^(n+1) = 2(2^n) = 2^n + 2^n$
Per l'ipotesi induttiva hai che $n^2 < 2^n$ dunque $n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1$
Quindi anche $n^2 + n + 1 < 2^n + 2n + 1$ (perchè $n<2n$ nei naturali positivi ...sempre..)
Per la diseguaglianza di Bernoulli $(1+nx)<(1+x)^n$ vista per $x=1$ si ha che $1 + n < 2^n$
Solo adesso l'hai daverod imsotrato per induzione. Ci sei?
"wide87":
$n^2 < 2^n$ supposto vero questo, hai che $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
Ma $2^(n+1) = 2(2^n) = 2^n + 2^n$
Per l'ipotesi induttiva hai che $n^2 < 2^n$ dunque $n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1$
Quindi anche $n^2 + n + 1 < 2^n + 2n + 1$ (perchè $n<2n$ nei naturali positivi ...sempre..)
Per la diseguaglianza di Bernoulli $(1+nx)<(1+x)^n$ vista per $x=1$ si ha che $1 + n < 2^n$
Solo adesso l'hai daverod imsotrato per induzione. Ci sei?
ciao e grazie mille per la risposta
mi sono perso da qui: dunque $n^2 + 2n + 1 < 2^n + 2n + 1$ 
Vedo alcuni problemi con questa dimostrazione... anzitutto fissiamo le idee: da dove partire con l'induzione?
$0^2 < 2^0$ vero
$1^2 < 2^1$ vero
$2^2 < 2^2$ falso
$3^2 < 2^3$ falso
$4^2 < 2^4$ falso
$5^2 < 2^5$ vero
Dunque?
$0^2 < 2^0$ vero
$1^2 < 2^1$ vero
$2^2 < 2^2$ falso
$3^2 < 2^3$ falso
$4^2 < 2^4$ falso
$5^2 < 2^5$ vero
Dunque?
"Rggb":
Vedo alcuni problemi con questa dimostrazione... anzitutto fissiamo le idee: da dove partire con l'induzione?
$0^2 < 2^0$ vero
$1^2 < 2^1$ vero
$2^2 < 2^2$ falso
$3^2 < 2^3$ falso
$4^2 < 2^4$ falso
$5^2 < 2^5$ vero
Dunque?
ovviamente partiamo da 5
questo lo so e mi son scordato di dirlo ^^ mi serve capire bene il resto... siccome l'ho dato per scontato al compito me lo vorrei fissare bene così magari mi recupero qualche punto perso
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