Un'ultima domanda sulle dimostrazioni
Ciao,
siccome ieri ho avuto modo di capire un po' di cosette grazie a un utente riguardo le definizioni mi piacerebbe sulla falsa riga di quanto visto vedere se ragionare come segue potrebbe essere corretto.
Sappiamo che per definizione di forma bilineare non degenere:
$phi$ forma bilineare è non degenere se $AA x, (x in V and (f(x,y)=0, AAy in V))=> x=0$.
vorrei dimostrare questo (che mi sembra vero):
Sia $phi$ una forma bilineare simmetrica, se $phi(x,y)=0 <=> x=0 or y=0$ allora $phi$ è non degenere.
Mettendolo in formule avrei che devo dimostrare:
$(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) => [AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0) => x=0]$
questo è logicamente equivalente a dire:
$[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] => x=0$
A questo punto l'asserto mi sembra vero poiché per ipotesi ho:
HP1) Per ogni x,y, $phi(x,y)=0 => x=0 or y=0$ MA assieme deve valere che HP2) $AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0)$, quindi sto dicendo che per ogni x e y su cui agendo la mia forma bilineare e dia risultato nullo, allora avrò che x è nullo oppure y e nullo, ma per ipotesi HP2 y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà nullo, rimarrà quindi nullo solo x (dell' x or y), cvd.
Di quest'ultima parte però non sono molto certo del ragionamento, qualcuno saprebbe aggiustarla un po' o dirmi e completamente sbagliato?
Vi ringrazio.
siccome ieri ho avuto modo di capire un po' di cosette grazie a un utente riguardo le definizioni mi piacerebbe sulla falsa riga di quanto visto vedere se ragionare come segue potrebbe essere corretto.
Sappiamo che per definizione di forma bilineare non degenere:
$phi$ forma bilineare è non degenere se $AA x, (x in V and (f(x,y)=0, AAy in V))=> x=0$.
vorrei dimostrare questo (che mi sembra vero):
Sia $phi$ una forma bilineare simmetrica, se $phi(x,y)=0 <=> x=0 or y=0$ allora $phi$ è non degenere.
Mettendolo in formule avrei che devo dimostrare:
$(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) => [AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0) => x=0]$
questo è logicamente equivalente a dire:
$[(AA x AA y, phi(x,y)=0 => x=0 or y=0) and (AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0))] => x=0$
A questo punto l'asserto mi sembra vero poiché per ipotesi ho:
HP1) Per ogni x,y, $phi(x,y)=0 => x=0 or y=0$ MA assieme deve valere che HP2) $AAx, (AA y in V,phi(x,y)=0)$, quindi sto dicendo che per ogni x e y su cui agendo la mia forma bilineare e dia risultato nullo, allora avrò che x è nullo oppure y e nullo, ma per ipotesi HP2 y varia su qualunque valore in V, quindi non sarà nullo, rimarrà quindi nullo solo x (dell' x or y), cvd.
Di quest'ultima parte però non sono molto certo del ragionamento, qualcuno saprebbe aggiustarla un po' o dirmi e completamente sbagliato?
Vi ringrazio.
Risposte
"serafinon":Sì esatto, anche per il resto mi sembra OK
Dato che qui non mi hai più bacchettato lo prendo come un eureka finalmente ho capito!
"matos":Beh semplicemente perché se $R(x)$ è sempre falsa allora $(P(x) and ¬Q(x))=>R(x)$ è equivalente a $¬ (P(x) and ¬Q(x))$ (per vederlo basta fare una tabella di verità).
come dovrei gestire la riformulazione del teorema (che apprendo dal vostro scambio) in $AAx, ((P(x) and ¬Q(x))=>R(x))$, sempre sotto l'idea di R sempre falsa? Non riesco cioè a vedere, quando riscritta in tal modo, che sto dimostrando la solita $AAx, (P(x)=>(Q(x))$.
In altre parole, se $B$ è falsa, allora $A=>B$ è equivalente a $¬A$.
"matos":Qui stai andando un po' sul filosofico, in che senso levare la seconda riga? Ci sono 3 casi in cui l'implicazione è vera e un caso in cui è falsa (tre V e un F), e quello che fai è mostrare che il caso F non succede, ma non è che "levi" la seconda riga (cosa significa levare una riga?). La tabella di verità di una proposizione composta è una tabella che ti dà il valore di verità della proposizione in funzione del valore di verità delle sue parti. Siccome l'unico caso in cui $A => B$ è falsa è quando $A$ è vera e $B$ è falsa, quello che devi fare è dimostrare che questo non può accadere, cioè non succede mai che $A$ è vera e $B$ è falsa. Per fare questo, assumi $A$ vera e ne deduci (tramite passaggi logici) che $B$ è vera.
E la mia domanda è, ma se io nel processo dimostrativo di solito dimostro che appunto se A vera allora B è vera, non dovrei far sparire la seconda riga? Infatti, quella non esiste più, perché so che se vera A per forza di cose B è vera. Il teorema quindi è una tavola di verità dell'implicazione in cui "elimino" la secodna riga grazie ai processi dimostrativi?
In altre parole: la seconda riga mi è possibile "levarla" proprio per via degli assiomi che agiscono sul mio universo delle x?
Grazie mille, sono contentissimo di leggere una tua risposta 
Uhhhh
Perfetto, grazie mille! Cercavo proprio di capire questo.
Faccio un esempietto per rendere più concreto il dilemma, che forse parlando per massimi sistemi non si capisce bene.
Il dubbio sorge perché solitamente si dice che un teorema, risolto con le tavole di verità, dovrebbe portare a una tautologia in ultima colonna (della tavola).
(metto in poiler per non creare una paginata di post)
In questo (maldestro) senso intendevo con eliminare una riga; perché sennò, mantenendo quella seconda riga, non riesco a ottenere la tautologia voluta. E non saperi come vederla in altro modo.
D'altra parte l'idea sovveniva perché come dici "assumi A vera e ne deduci (tramite passaggi logici) che B è vera", quindi proprio perché quella (con A vera e B falsa) riga ho dimostrato non capitare mai la posso "levare".
"Martino":
Beh semplicemente perché se $R(x)$ è sempre falsa allora $(P(x) and ¬Q(x))=>R(x)$ è equivalente a $¬ (P(x) and ¬Q(x))$ (per vederlo basta fare una tabella di verità).
In altre parole, se $B$ è falsa, allora $A=>B$ è equivalente a $¬A$.
Uhhhh
Perfetto, grazie mille! Cercavo proprio di capire questo.
"matos":
Qui stai andando un po' sul filosofico, in che senso levare la seconda riga? Ci sono 3 casi in cui...
Faccio un esempietto per rendere più concreto il dilemma, che forse parlando per massimi sistemi non si capisce bene.
Il dubbio sorge perché solitamente si dice che un teorema, risolto con le tavole di verità, dovrebbe portare a una tautologia in ultima colonna (della tavola).
(metto in poiler per non creare una paginata di post)
In questo (maldestro) senso intendevo con eliminare una riga; perché sennò, mantenendo quella seconda riga, non riesco a ottenere la tautologia voluta. E non saperi come vederla in altro modo.
D'altra parte l'idea sovveniva perché come dici "assumi A vera e ne deduci (tramite passaggi logici) che B è vera", quindi proprio perché quella (con A vera e B falsa) riga ho dimostrato non capitare mai la posso "levare".
A mio modo di vedere il tuo procedimento non è pulitissimo. Quello che vuoi dimostrare è
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
che può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)
Questa è una tautologia (dà tutti V senza eliminare niente), prova.
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
che può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)
Questa è una tautologia (dà tutti V senza eliminare niente), prova.
Effettivamente scritta così è la tautologia cercata.
Ma a questo punto mi vengono giusto tre domande per capire meglio la situazione:
- la prima è:
dato che hai reso i predicati come P(a,b)=aRb come solo X, idem per Y=Q(a,b)=bRa e Z=R(a,b)=a=b, il che ci porta a descrivere il teorema come [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z).
Mi sembra di capire che qualunque teorema sia il dimostrare i legami tra i vari operatori logici piuttosto che i vari asserti, poiché a X,Y,Z potrei sostituire qualunque altro predicato non per forza "a in relazione con b", "b in relazione con a" e "a=b" rispettivamente, a patto che abbiano gli stessi legami tra loro.
Ma a questo punto se volessi rendere:
$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
svolgendo qualcosa di simile a quanto fatto da te scriverei:
$((P=> Q or R) and P)=>Q$
Con: P:=phi(a,b)=0, Q:=(a=0), R:=(b=0)
che però non mi dà una tautologia, come si ottiene in questo caso?
Se invece non posso renderla in qualcosa di simile, quando posso fare questa operazione e quando no?
[EDITO: forse questa funziona in effetti: ((P => Q or R)and S) => T è una tautologia.
WOW, come dicevo nel pre edit sopra sono allibito da questa cosa: Mi sembra di capire che qualunque teorema sia il dimostrare i legami tra i vari operatori logici piuttosto che i vari asserti, poiché a X,Y,Z potrei sostituire qualunque altro predicato non per forza "a in relazione con b", "b in relazione con a" e "a=b" rispettivamente, a patto che abbiano gli stessi legami tra loro. E non sto più a valutare i per ogni x,y,a,b. Non mi ero mai accorto della potenza di questo metodo...]
***
- la seconda cosa è:
se voglio fare la tavola di verita del teorema "se un individuo x è padre allora x maschio" (con passi logici mostro che se x padre => x maschio e non ho mai x padre (vera) e x maschio (falsa)), come scrivevo avrei redatto:
A....B....A=>B
V....V.......V
V....F.......F
F....V.......V
F....F.......V
che non è palesemente una tautologia, appurato quindi che eliminare una riga non ha senso... come si otterrebbe la voluta colonna finale tutta vera?
***
La terza per chiarire ancora:
Prendiamo in analisi un ultimo teorema tipo (invento banalmente) hp: $x=y$ => th: $x*y=x^2$
Se faccio la tavola di verità ho:
x=y....x*y=x^2....x=y=>x*y=x^2
V.............V.....................V
V.............F.....................F
F.............V.....................V
F.............F.....................V
E anche qui niente tautologia
, quindi come si può ottenere?
Riuscissi a capire queste ultime tre cose sare l'uomo più felice del mondo
Ti ringrazio per avermi regalato la possibilità di approfondire questi concetti
Ma a questo punto mi vengono giusto tre domande per capire meglio la situazione:
- la prima è:
dato che hai reso i predicati come P(a,b)=aRb come solo X, idem per Y=Q(a,b)=bRa e Z=R(a,b)=a=b, il che ci porta a descrivere il teorema come [ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z).
Mi sembra di capire che qualunque teorema sia il dimostrare i legami tra i vari operatori logici piuttosto che i vari asserti, poiché a X,Y,Z potrei sostituire qualunque altro predicato non per forza "a in relazione con b", "b in relazione con a" e "a=b" rispettivamente, a patto che abbiano gli stessi legami tra loro.
Ma a questo punto se volessi rendere:
$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
svolgendo qualcosa di simile a quanto fatto da te scriverei:
$((P=> Q or R) and P)=>Q$
Con: P:=phi(a,b)=0, Q:=(a=0), R:=(b=0)
che però non mi dà una tautologia, come si ottiene in questo caso?
Se invece non posso renderla in qualcosa di simile, quando posso fare questa operazione e quando no?
[EDITO: forse questa funziona in effetti: ((P => Q or R)and S) => T è una tautologia.
WOW, come dicevo nel pre edit sopra sono allibito da questa cosa: Mi sembra di capire che qualunque teorema sia il dimostrare i legami tra i vari operatori logici piuttosto che i vari asserti, poiché a X,Y,Z potrei sostituire qualunque altro predicato non per forza "a in relazione con b", "b in relazione con a" e "a=b" rispettivamente, a patto che abbiano gli stessi legami tra loro. E non sto più a valutare i per ogni x,y,a,b. Non mi ero mai accorto della potenza di questo metodo...]
***
- la seconda cosa è:
se voglio fare la tavola di verita del teorema "se un individuo x è padre allora x maschio" (con passi logici mostro che se x padre => x maschio e non ho mai x padre (vera) e x maschio (falsa)), come scrivevo avrei redatto:
A....B....A=>B
V....V.......V
V....F.......F
F....V.......V
F....F.......V
che non è palesemente una tautologia, appurato quindi che eliminare una riga non ha senso... come si otterrebbe la voluta colonna finale tutta vera?
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La terza per chiarire ancora:
Prendiamo in analisi un ultimo teorema tipo (invento banalmente) hp: $x=y$ => th: $x*y=x^2$
Se faccio la tavola di verità ho:
x=y....x*y=x^2....x=y=>x*y=x^2
V.............V.....................V
V.............F.....................F
F.............V.....................V
F.............F.....................V
E anche qui niente tautologia
, quindi come si può ottenere?Riuscissi a capire queste ultime tre cose sare l'uomo più felice del mondo
Ti ringrazio per avermi regalato la possibilità di approfondire questi concetti
Certo, la tabella di verità dell'implicazione logica è sempre la stessa, non cambia a seconda del problema. Ma quando dimostri un'implicazione logica non è che elimini la riga con F, semplicemente dimostri che quella riga non è mai verificata, cioè per mostrare che A implica B dimostri che non può accadere che A è vera e B è falsa. Ma questa dimostrazione la fai con le solite regole di deduzione. In particolare, per dedurre $x*y=x^2$ da $x=y$ quello che usi sono gli assiomi logici sull'uguaglianza e la sostituzione (vedi per esempio qui). Cioè, l'implicazione $x=y$ => $x*y=x^2$ è valida perché il simbolo $=$ significa una cosa ben precisa, le sue caratteristiche sono assiomatizzate. La tavola di verità di un'implicazione logica non la può dimostrare, sta solo dicendo come il valore di verità delle sue parti è collegato al valore di verità dell'implicazione.
Mi rendo conto però che la mia risposta possa lasciare a desiderare, d'altronde non sono un logico Se vuoi approfondire ti consiglio di rivolgerti a un logico.
Mi rendo conto però che la mia risposta possa lasciare a desiderare, d'altronde non sono un logico
Se vuoi approfondire ti consiglio di rivolgerti a un logico.
Beh guarda ti ringrazio moltissimo perché, non sarai un logico ma questa discussione è stata per me davvero molto interessante perché mi hai fatto notare cose che non avevo finora notato (anche nella parte precedente al mio intervento).
Solo per tirare le somme sulle tre domande sopra. Come dicevamo
1)Facendo il verso da quanto da te appreso
Il mio dubbio era rendere $AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$ e ottenere la tautologia (cioè la dimostrazione) usando solo le tavole.
Ebbene, sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.
Quello che, a latere, mi interessava puntualizzare era che quando dimostravo io ho sempre sfruttato il metodo prendo per ogni x verifico l'ipotesi vera e bal bla che dievi nelle pagine precedenti, e non mi ero mai accorto che potevo invece dimostrare un teorema solo sfruttando queste tabelle. E mi ha molto colpito scoprirlo così dalla discussione, perché in effetti funziona, si ha proprio una tautologia senza passare dal ragionamento logico ma solo da una "meccanica" tabella. Non so se ho spiegato meglio quello che prima volevo dire.
2) Anche "preso x individuo, se x padre allora x maschio" posso renderlo come "teorema/tautologia" me ne sono accorto solo stanotte: infatti padre è un "maschio con figli" ossia "è maschio and ha figli".
Quindi se P="x maschio", Q="x ha figli" e (P and Q)="x maschio and x ha figli" allora: (P and Q)=>P
P.............Q..............(P and Q).........(P and Q)=>P
V.............V.....................V.....................V
V.............F.....................F......................V
F.............V.....................F......................V
F.............F.....................F......................V
Tautologia, quindi "teorema" vero.
3) A patto che i primi due punti siano ora corretti e chiedo a te per sicurezza se lo sono?
mi rimane però, per chiudere definitivamente contento la faccenda, il terzo dubbio sul hp: $x=y$ => th: $x⋅y=x^2$, devo ammettere che non capisco come ottenere la tautologia usando gli assiomi dell'uguaglianza.
O, se vogliamo, come integrare gli assiomi nella tabella così da ottenere tautologie similmente ai casi 1 e 2 da me qui scritto sopra.
Direi che capito anche il 3) potrei ritenermi più che soddisfatto ho imparato moltissimo su cose per cui non avevo mai speso molto tempo per pensarci. E mi ha affascinato.
Solo per tirare le somme sulle tre domande sopra. Come dicevamo
1)Facendo il verso da quanto da te appreso
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)
che può più semplicemente essere riformulata (rinominando opportunamente le parti) come
[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)
Il mio dubbio era rendere $AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$ e ottenere la tautologia (cioè la dimostrazione) usando solo le tavole.
Ebbene, sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.
Quello che, a latere, mi interessava puntualizzare era che quando dimostravo io ho sempre sfruttato il metodo prendo per ogni x verifico l'ipotesi vera e bal bla che dievi nelle pagine precedenti, e non mi ero mai accorto che potevo invece dimostrare un teorema solo sfruttando queste tabelle. E mi ha molto colpito scoprirlo così dalla discussione, perché in effetti funziona, si ha proprio una tautologia senza passare dal ragionamento logico ma solo da una "meccanica" tabella. Non so se ho spiegato meglio quello che prima volevo dire.
2) Anche "preso x individuo, se x padre allora x maschio" posso renderlo come "teorema/tautologia" me ne sono accorto solo stanotte: infatti padre è un "maschio con figli" ossia "è maschio and ha figli".
Quindi se P="x maschio", Q="x ha figli" e (P and Q)="x maschio and x ha figli" allora: (P and Q)=>P
P.............Q..............(P and Q).........(P and Q)=>P
V.............V.....................V.....................V
V.............F.....................F......................V
F.............V.....................F......................V
F.............F.....................F......................V
Tautologia, quindi "teorema" vero.
3) A patto che i primi due punti siano ora corretti e chiedo a te per sicurezza se lo sono?
mi rimane però, per chiudere definitivamente contento la faccenda, il terzo dubbio sul hp: $x=y$ => th: $x⋅y=x^2$, devo ammettere che non capisco come ottenere la tautologia usando gli assiomi dell'uguaglianza.
O, se vogliamo, come integrare gli assiomi nella tabella così da ottenere tautologie similmente ai casi 1 e 2 da me qui scritto sopra.
Direi che capito anche il 3) potrei ritenermi più che soddisfatto ho imparato moltissimo su cose per cui non avevo mai speso molto tempo per pensarci. E mi ha affascinato.
Non voglio sorpassare nessuno nella richiesta di un chiarimento e non voglio incasinare la discussione prima di una risposta alla domanda di mattos, ma la lascio qui avendo ora modo di scrivere tra una lezione e l'altra e casomai avessi tempo di rispondermi dopo l'utente sopra di me.
Volevo chiudere anche io con una ultima domanda riguardo queste ultime vostre considerazioni e sono contento siano state utili anche ad altri utenti del forum che sono intervenuti o hanno letto. Ma se capisco anche questa vi assicuro che mi dileguerò per sempre da questo thread XD.
Siccome mi hai insegnato quanto sia importante dimostrare contando sulla logica applicata al linguaggio naturale, mi piacerebbe capire come compiere la dimostrazione che hai scritto in formule:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) a parole ma in modo rigorso.
Io l'ho sempre letta dimostrata come: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b).
Però questo procedimento è un po' sbagliato, infatti sarebbe simile a dire dimostro prima (P=>Q) quindi Q è vera, se ora ho dimostrato che Q è vera e dimostro che data tale Q, Q=>R (cioè per Q vera ho R vera), mettendo assieme quello che ho scritto sopra sarebbe come asserire che (P=>Q)=>R che non è una "tautologia" come la chiamate. Quindi la dimostrazione "a parole" è direi sbagliata perché sarebbe [aRb=>(aRb and bRa)]=>a=b e non da tautologia, per quanto sembrasse inizialmente intuitivamente corretta. O forse sbaglio solo a riportare le parole della dimostrazione in fomule?
Dunque quel che mi chiedo è come si renda a parole correttamente la dimostrazione cercata? "aRb => a=b quando R è simmetrica e antisimmetrica"?
Volevo chiudere anche io con una ultima domanda riguardo queste ultime vostre considerazioni e sono contento siano state utili anche ad altri utenti del forum che sono intervenuti o hanno letto. Ma se capisco anche questa vi assicuro che mi dileguerò per sempre da questo thread XD.
Siccome mi hai insegnato quanto sia importante dimostrare contando sulla logica applicata al linguaggio naturale, mi piacerebbe capire come compiere la dimostrazione che hai scritto in formule:
[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b) a parole ma in modo rigorso.
Io l'ho sempre letta dimostrata come: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b).
Però questo procedimento è un po' sbagliato, infatti sarebbe simile a dire dimostro prima (P=>Q) quindi Q è vera, se ora ho dimostrato che Q è vera e dimostro che data tale Q, Q=>R (cioè per Q vera ho R vera), mettendo assieme quello che ho scritto sopra sarebbe come asserire che (P=>Q)=>R che non è una "tautologia" come la chiamate. Quindi la dimostrazione "a parole" è direi sbagliata perché sarebbe [aRb=>(aRb and bRa)]=>a=b e non da tautologia, per quanto sembrasse inizialmente intuitivamente corretta. O forse sbaglio solo a riportare le parole della dimostrazione in fomule?
Dunque quel che mi chiedo è come si renda a parole correttamente la dimostrazione cercata? "aRb => a=b quando R è simmetrica e antisimmetrica"?
"matos":Sì mi sembra tutto ok.
A patto che i primi due punti siano ora corretti e chiedo a te per sicurezza se lo sono?
"matos":Il punto è che per dimostrare che $x=y$ implica $x*y=x^2$ (dove ovviamente $x^2$ è uguale a $x*x$ per definizione) tu usi un assioma dell'uguaglianza che può essere sintetizzato come segue: variabili uguali sostituite nella stessa proposizione danno risultati uguali, o (*) "$a=b$ => $P(a)=P(b)$ per ogni proposizione $P$", che può essere chiamato assioma di sostituzione (andrebbe scritto meglio ma non riesco qui a fare un trattato di logica, per questo ti ho segnalato il link wiki sulla logica del primo ordine). Quindi l'implicazione (*) è una delle tue ipotesi (e vale ovviamente anche per proposizioni di più di una variabile). Inoltre questo non è l'unico degli assiomi che usi normalmente senza neanche accorgertene, per fare un altro esempio "$x=y$ => $y=x$" è un altro assioma (che puoi trovare ovvio ma non lo è). Insomma alla fine hai una lista di assiomi $A_1$, ..., $A_n$, che fanno parte della premessa di qualsiasi implicazione logica che vuoi dimostrare. Quindi quando scrivi che $x=y$ implica $x*y=x^2$ questo è un abuso di notazione (se vogliamo proprio essere rigorosissimi) perché l'ipotesi dell'implicazione non è solo $x=y$ ma è data dalla lista "$A_1$, ..., $A_n$, $x=y$". Quindi in questo senso sì, qualsiasi teorema è una tautologia, ma devi includere nella premessa gli assiomi che usi nel processo di deduzione logica. Vedi anche qui (regole di inferenza).
mi rimane però, per chiudere definitivamente contento la faccenda, il terzo dubbio sul hp: $x=y$ => th: $x⋅y=x^2$, devo ammettere che non capisco come ottenere la tautologia usando gli assiomi dell'uguaglianza.
O, se vogliamo, come integrare gli assiomi nella tabella così da ottenere tautologie similmente ai casi 1 e 2 da me qui scritto sopra.
"serafinon":Non capisco bene, è ovvio che il linguaggio naturale ha dei difetti, ma il punto è che dietro al linguaggio naturale ci sono le tavole di verità e le cose sono determinate in maniera esatta. Riguardo quanto dici, la tua formulazione qui sopra non è equivalente a quello che vuoi dimostrare perché, come hai già osservato, le proposizioni
dimostro prima (P=>Q) quindi Q è vera, se ora ho dimostrato che Q è vera e dimostro che data tale Q, Q=>R (cioè per Q vera ho R vera), mettendo assieme quello che ho scritto sopra sarebbe come asserire che (P=>Q)=>R che non è una "tautologia" come la chiamate.
[(P => Q) and ((P and Q) => R)] => (P=>R)
(P=>Q)=>R
NON sono equivalenti. La prima è una tautologia, la seconda ovviamente non lo è. Purtroppo non ti so rispondere meglio di così, il fatto che le formulazioni qui sopra non sono equivalenti implica semplicemente che la tua riformulazione in linguaggio naturale non è corretta, oppure che non è corretta la riformulazione in formule della riformulazione in linguaggio naturale.
Non capisco bene, è ovvio che il linguaggio naturale ha dei difetti, ma il punto è che dietro al linguaggio naturale ci sono le tavole di verità e le cose sono determinate in maniera esatta. Riguardo quanto dici, la tua formulazione qui sopra non è equivalente a quello che vuoi dimostrare perché, come hai già osservato, le proposizioni
[(P => Q) and ((P and Q) => R)] => (P=>R)
(P=>Q)=>R
NON sono equivalenti. La prima è una tautologia, la seconda ovviamente non lo è. Purtroppo non ti so rispondere meglio di così, il fatto che le formulazioni qui sopra non sono equivalenti implica semplicemente che la tua riformulazione in linguaggio naturale non è corretta, oppure che non è corretta la riformulazione in formule della riformulazione in linguaggio naturale.
In effetti mi scuso se sono risultato poco chiaro nella domanda.
Io l'ho sempre interpretata come: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b).
che mi sembra essere: [aRb=>(aRb and bRa)]=>a=b
Senza risultare troppo arzigogolato nella domanda, capendo che questa nel quote è una resa errata "in linguaggio naturale", con il precedente post volevo semplicemente chiederti: come potrei renderla in modo corretto?
Direi che chiamando $X$ l'insieme in cui vivono gli elementi interessati, se
$S(X)$ = "$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $bRa$)"
(simmetria)
$A(X)$ = "$forall a,b$ [(($a in X$ and $b in X$ and $aRb$ and $bRa$) => $a=b$]"
(antisimmetria)
allora abbiamo che
($S(X)$ and $A(X)$) => [$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $a=b$)]
$S(X)$ = "$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $bRa$)"
(simmetria)
$A(X)$ = "$forall a,b$ [(($a in X$ and $b in X$ and $aRb$ and $bRa$) => $a=b$]"
(antisimmetria)
allora abbiamo che
($S(X)$ and $A(X)$) => [$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $a=b$)]
Devvero molto gentile.
Direi che più o meno mi pare di aver capito come vanno le cose e nel n ho altre grandi domande esistenziali.
In ogni caso, mi pare di capire che detto forse malamente, l'errore che facevo è che vanno messi nelle ipotesi anche gli assiomi.
Effettivamente dei tre punti elencati nel mio post prima nel (2 "teorema" padre figlio) non si usano assiomi quindi non c'erano problemi.
L'unico punto che mi rimane un pochino dubbio è che nella (1) ossia per
in realtà uso a=b (che ho reso con V) come predicato, tuttavia pur non inserendo l'assioma la tavola di verità fa il suo lavoro (cosa che come abbiamo visto non fa nel punto (3) invece).
Non capisco il perché onestamente funzioni in quel caso, secondo te c'è un motivo? (domanda retorica ci sarà sicuramente ma non lo vedo)
Direi che più o meno mi pare di aver capito come vanno le cose e nel n ho altre grandi domande esistenziali
.In ogni caso, mi pare di capire che detto forse malamente, l'errore che facevo è che vanno messi nelle ipotesi anche gli assiomi.
Effettivamente dei tre punti elencati nel mio post prima nel (2 "teorema" padre figlio) non si usano assiomi quindi non c'erano problemi.
L'unico punto che mi rimane un pochino dubbio è che nella (1) ossia per
$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.
in realtà uso a=b (che ho reso con V) come predicato, tuttavia pur non inserendo l'assioma la tavola di verità fa il suo lavoro (cosa che come abbiamo visto non fa nel punto (3) invece).
Non capisco il perché onestamente funzioni in quel caso, secondo te c'è un motivo? (domanda retorica ci sarà sicuramente ma non lo vedo
)
"Martino":
Direi che chiamando $X$ l'insieme in cui vivono gli elementi interessati, se
$S(X)$ = "$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $bRa$)"
(simmetria)
$A(X)$ = "$forall a,b$ [(($a in X$ and $b in X$ and $aRb$ and $bRa$) => $a=b$]"
(antisimmetria)
allora abbiamo che
($S(X)$ and $A(X)$) => [$forall a,b$ (($a in X$ and $b in X$ and $aRb$) => $a=b$)]
Ok, non è molto in linguaggio naturale che speravo (cioè a "parole"), intendendo una dimostrazione del tipo (vista a pagina 2):
"supponiamo che valga ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 e prendiamo x tale che ϕ(x,y)=0 per ogni y allora ovviamente esiste y!=0 tale che ϕ(x,y)=0, e applicando l'ipotesi otteniamo x=0. Quindi ϕ è non degenere."
ma lo comprendo
"matos":Scusa, sinceramente non ti seguo più
Non capisco il perché onestamente funzioni in quel caso, secondo te c'è un motivo? (domanda retorica ci sarà sicuramente ma non lo vedo
"serafinon":Questa frase va bene, non capisco da dove vengono tutti questi dubbi. Il linguaggio naturale è "impreciso" (confrontato con le tavole di verità e via discorrendo) ma è del tutto adatto a scrivere dimostrazioni.
"supponiamo che valga ϕ(x,y)=0⇔x=0ory=0 e prendiamo x tale che ϕ(x,y)=0 per ogni y allora ovviamente esiste y!=0 tale che ϕ(x,y)=0, e applicando l'ipotesi otteniamo x=0. Quindi ϕ è non degenere."
Cioè se dovessimo scrivere tutti i dettagli di tutte le dimostrazioni, per risolvere l'equazione $2x-2=0$ ci vorrebbero due o tre pagine (come ho detto, nemmeno cose come $a=b$ => $b=a$ sono ovvie, quindi immaginerai che virtualmente non c'è limite alla formalizzazione).
Scusate mi tiro fuori dalla discussione, stiamo andando troppo sul filosofico per i miei gusti. Ciao, buona fortuna!
Solo per chiarire perché forse ero stato preso come filosofico, ma volevo solo dire che qui:
Pur sfruttando a=b non avevo la necessità di inserire effettivamente l'assioma nella tavola di verità per farla tornare, mentre qui $x=y => x⋅y=x^2$ si (pena non ottenere la tautologia). E mi stavo solo chiedendo perché di questa diverso comportamento delle tavole per ottenere tautologia.
Volevo solo chiarire perché forse trainteso, se mai qualcuno passasse e leggesse.
Comunque ti ringrazio sinceramente moltissimo per tutte le spiegazioni date e sicuramente avrò modo di leggere altri tuoi ottimi interventi sul forum!
$AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.
Pur sfruttando a=b non avevo la necessità di inserire effettivamente l'assioma nella tavola di verità per farla tornare, mentre qui $x=y => x⋅y=x^2$ si (pena non ottenere la tautologia). E mi stavo solo chiedendo perché di questa diverso comportamento delle tavole per ottenere tautologia
.Volevo solo chiarire perché forse trainteso, se mai qualcuno passasse e leggesse.
Comunque ti ringrazio sinceramente moltissimo per tutte le spiegazioni date e sicuramente avrò modo di leggere altri tuoi ottimi interventi sul forum!
Spero potrai perdonare anche me per la poca chiarezza.
Volevo solo dire che dato che dire scrivere: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b)
è ovviamente una resa sbagliata della dimostrazione, cercavo solo un modo per rendere a parole questa: $S(X) and A(X)) => [∀a,b ((a∈X and b∈X and aRb) => a=b)]$ da te scritta, dato che non mi sembrava molto "a parole" messa così. Mi rammarica non essermi fatto capire 
Volevo unirmi ai ringraziamenti anche da parte mia, sei stato per quanto mi riguarda fondamentale.
Un carissimo saluto
Volevo solo dire che dato che dire scrivere: assunto aRb poiché simmetrica ho che bRa, ora avendo dimostrato ciò ho che aRb e bRa è vera ed essendo antisimmetrica avrò che a=b (dalla definizione di antisimmetrica appunto (aRb and bRa) => a=b)
è ovviamente una resa sbagliata della dimostrazione, cercavo solo un modo per rendere a parole questa: $S(X) and A(X)) => [∀a,b ((a∈X and b∈X and aRb) => a=b)]$ da te scritta
, dato che non mi sembrava molto "a parole" messa così. Mi rammarica non essermi fatto capire Volevo unirmi ai ringraziamenti anche da parte mia, sei stato per quanto mi riguarda fondamentale.
Un carissimo saluto
"matos":
Il mio dubbio era rendere $AA x,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$ e ottenere la tautologia (cioè la dimostrazione) usando solo le tavole.
Ebbene, sostituendo opportunamente ((P => Q or R)and S) => V è una tautologia quindi ci siamo e funziona, dimostra il teorema.
Una breve domanda.
Ma qui si pone P=P(a,b), mentre Q=Q(a), R=R(b), S=S(x,y) e V=V(x), e poi se ne fa una tabella di verità. Ma si può davvero fare questo considerando che sono predicati che dipendono da variabili diverse?
Perché io le ho sempre viste riferite alla stessa variabile, dal basso della mia conoscenza es. P(x)=>Q(x) e fai la tabella dell'omologazione, ma sulla stessa x
Se qualcuno sapesse rispondermi lo ringrazio. Il resto del topic mi pare invece chiaro e ben spiegato da Martino.
Premesso[nota]:lol:[/nota] che come promesso[nota]:-D[/nota] non intervengo con altre domande ma lascio spazio ad altri, tuttavia avendo compiuto un errore volevo correggermi.
Spero Martino possa risponderti, se non lo abbiamo esaurito noi , perché io non ne sono in grado, ma credo tu abbia ragione, ho detto una corbelleria (come minimo)!
Intervengo solo per rettificare il mio errore: non viene una tautologia con: ((P => Q or R)and S) => V, scusatemi
Credo l'errore sia quello che dici tu, è una tabella a più variabili nei predicati... ma non ci metterei la mano sul fuego
Spero Martino possa risponderti, se non lo abbiamo esaurito noi
, perché io non ne sono in grado, ma credo tu abbia ragione, ho detto una corbelleria (come minimo)!Intervengo solo per rettificare il mio errore: non viene una tautologia con: ((P => Q or R)and S) => V, scusatemi
Credo l'errore sia quello che dici tu, è una tabella a più variabili nei predicati... ma non ci metterei la mano sul fuego
Ri-ciao,
siccome la mia domanda tra le molte è l'unica rimasta senza risposta, spinto da una discussione volevo porvare a riupparla perché mi interessa molto.
Noi sappiamo che :
$AAa,b,[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)$
si può scrivere per fare la tabella come:
$[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)$
"rinominando opportunamente le parti" come dice Martino
Vorrei solo chiedere una mano sul "come rendere" in tavola di verità:
$AA a,b,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Qualcuneo dotato di molta pazienza potrebbe aiutarmi a capire.
siccome la mia domanda tra le molte è l'unica rimasta senza risposta
, spinto da una discussione volevo porvare a riupparla perché mi interessa molto.Noi sappiamo che :
$AAa,b,[ (aRb => bRa) and ( (aRb and bRa) => a=b) ] => (aRb => a=b)$
si può scrivere per fare la tabella come:
$[ (X => Y) and ( (X and Y) => Z) ] => (X => Z)$
"rinominando opportunamente le parti" come dice Martino
Vorrei solo chiedere una mano sul "come rendere" in tavola di verità:
$AA a,b,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Qualcuneo dotato di molta pazienza potrebbe aiutarmi a capire.
"sgrisolo":
Vorrei solo chiedere una mano sul "come rendere" in tavola di verità:
$AA a,b,{[(AA a,AA b, (phi(a,b)=0 => a=0 or b=0)) and (AA y,( phi(x,y)=0))] => x=0}$
Secondo me questo non si può rendere in tavola di verità. Le tavole di verità non sono adatte a fare dimostrazioni, servono a verificare che ciascun passo logico delle dimostrazioni è corretto.
Per esempio se so che (*) $P(a) forall a in A$ e poi mi trovo con un $x in A$, devo poter dedurre $P(x)$ semplicemente perché in (*) c'è il quantificatore $forall$.
Purtroppo non ti so dire più di questo, mi sembra che abbia a che vedere col calcolo dei sequenti, argomento però che non ho mai studiato. Siamo arrivati a un punto in cui non sono più così preparato a rispondere come pensate
Ciao
Ti ringrazio, è che stavo letteralmente impazzendo sul trovare una soluzione al perché non funzionasse. Grazie mille per avermi risposto 
Devo però dire che c'è ancora una piccola parte che mi lascia perplesso. Ossia non riesco a individuare il motivo per cui
$∀a,b,[(aRb⇒bRa)and((aRbandbRa)⇒a=b)]⇒(aRb⇒a=b)$ (1)
si *possa* rendere come:
$[(X⇒Y)and((XandY)⇒Z)]⇒(X⇒Z)$ utile per la tavola logica.
Mentre
$∀x,{[(∀a,∀b,(ϕ(a,b)=0⇒a=0orb=0))and(∀y,(ϕ(x,y)=0))]⇒x=0}$ (2)
non può subire una medesima riscrittura. E quindi niente tavola logica qui.
Eppure sia aRb che ϕ(a,b)=0 possono essere scritti in termini logici più semplici, quindi non sembra essere lì il problema.
Quello che voglio cioè comprendere per non fare errori nell'atto pratico è: quando/come riesco a capire che sono in un caso (1) che posso rendere in tavola di verità e quando invece sono in un caso (2) che non funziona? Perché ai miei occhi sembrano del tutto simili. E non riesco a capire dove sia la differenza tra le due situazioni.
Per essere ancora più concisi: quale è la differenza?
Devo però dire che c'è ancora una piccola parte che mi lascia perplesso. Ossia non riesco a individuare il motivo per cui
$∀a,b,[(aRb⇒bRa)and((aRbandbRa)⇒a=b)]⇒(aRb⇒a=b)$ (1)
si *possa* rendere come:
$[(X⇒Y)and((XandY)⇒Z)]⇒(X⇒Z)$ utile per la tavola logica.
Mentre
$∀x,{[(∀a,∀b,(ϕ(a,b)=0⇒a=0orb=0))and(∀y,(ϕ(x,y)=0))]⇒x=0}$ (2)
non può subire una medesima riscrittura. E quindi niente tavola logica qui.
Eppure sia aRb che ϕ(a,b)=0 possono essere scritti in termini logici più semplici, quindi non sembra essere lì il problema.
Quello che voglio cioè comprendere per non fare errori nell'atto pratico è: quando/come riesco a capire che sono in un caso (1) che posso rendere in tavola di verità e quando invece sono in un caso (2) che non funziona? Perché ai miei occhi sembrano del tutto simili. E non riesco a capire dove sia la differenza tra le due situazioni.
Per essere ancora più concisi: quale è la differenza?
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