Uno scomodo isomorfismo

[wide87]

Ragazzi ho riscontrato nel materiale di testo a mia disposizione, la tendenza a dare per scontato che End(Z) = Z
Perlomeno isomorfo. L'applicazione è u:End(Z)-->Z che ad $f in End(Z)$ associa $f(1) in Z$.
Devo provare che è un isomorfismo di anelli. La conservazione dell'additività è ineffetti facile da provare.
Succede però che il prodotto operatorio che rende End(Z) un anello insieme alla Addizione elementare di funzioni, è $(f*g) (x) := f(g(x))$.
Bene dunque $u(f*g) = (f*g)(1) = f(g(1))$
Mentre $u(f)u(g)= f(1)g(1)$

grazie a cosa provo che $f(g(1)) $ è $ f(1)g(1)$ ??

Cosa sto trascurando??

[drughe]

che sono omomorfismi e trasmormano l unità nell unità?

[wide87]

Eh..funzionerebbe ma...Sono omomorfismi di Z in Z (quindi Endomorfismi)... ma ADDITIVI perchè fra (Z,+) e (Z,+) . Quindi ho che f(0) = 0 . Stop

[maurer]

Eh! Ma chi ti ha detto che la composizione operatoriale sia l'unica operazione sensata? In effetti in questo caso si sottointende [tex](f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)[/tex] (piuttosto prova che con questa definizione [tex]\text{End}(\mathbb{Z})[/tex] è effettivamente un anello!)

Però funziona anche la composizione: se [tex]f(1) = a[/tex], [tex]g(1) = b[/tex] allora [tex]f(1) g(1) = ab[/tex], [tex]f(g(1)) = f(b) = bf(1) = b a = ab[/tex]!

[drughe]

allora se sono endomorfismi di gruppi 1 dovrebbe essere il generatore quindi ad 1 associano un suo multiplo quindi f(1)=nx1 g(1)=mx1 quindi f(g(1))=f(mx1) e siccome sono omomorfismi porto fuori m =mf(1)=mxn=f(1)g(1)

[maurer]

Ho scritto in contemporanea a drughe...

[wide87]

@ Mauer, con quell'operazione sarebbe automatico, ma il libro mi dice esplicitamente di definire $(f*g)=f(g(x))$
@ Drughe, buono come ragionamento ma.. fino a quel punto, della teoria degli anelli ho solo la definizione di isomorfismo e di anello... quindi sarebbe un poì un rubacchiare..

[wide87]

mi correggo, ovviamente $(f*g)(x)=f(g(x))$

[vict85]

"wide87":@ Drughe, buono come ragionamento ma.. fino a quel punto, della teoria degli anelli ho solo la definizione di isomorfismo e di anello... quindi sarebbe un poì un rubacchiare..

Non dimenticarti che puoi usare la definizione di [tex]\mathbb{Z}[/tex]...

[tex]f(1) = n1[/tex] dove con [tex]n1[/tex] intendo [tex]1+1+1+1+...+1[/tex] n volte e non n come elemento.
Ora inoltre [tex]f(m) = mf(1) = mn1 = nm1 = nm[/tex] dove l'ultimo [tex]m[/tex] è inteso come elemento di [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Quindi si ha che per ogni [tex]f[/tex] essa può essere definita come [tex]f = n \mathrm{id}[/tex].
Quindi presi [tex]g[/tex] e [tex]f[/tex] abbiamo che [tex](f\cdot g)(x) = n (\mathrm{id} \cdots g)(x) = ng(x) = nmx[/tex].