Unione/Intersezione Famiglie di insiemi

[raffa071292]

Salve ragazzi, è proprio vero che i nodi vengono al pettine! Ho trascurato la parte dell'unione ed intersezione di famiglie di insiemi. Ogni volta che incontravo un esercizio su questo argomento passavo avanti perchè non riuscivo a capirlo. Specialmente per quanto riguarda l'intersezione. Provo a svolgerne 3 spiegandovi i miei dubbi e chiedendovi di aiutarmi a capire meglio la logica di questi esercizi.

1.1 Per ogni $ninNN$ sia $A_n = {x in NN | x != n+1}$ Calcolare $uuu_{n in NN} A_n$ e $nnn_{n in NN} A_n$

1.2 Per ogni $ninNN$ sia $B_n = {x in NN | x != 2n}$ Calcolare $uuu_{n in NN} B_n$ e $nnn_{n in NN} B_n$

1.3 Per ogni $ninNN$ sia $C_n = {x in NN | x != 2n+3}$ Calcolare $uuu_{n in NN} C_n$ e $nnn_{n in NN} C_n$
_________

Svolgimento 1.1
$A_n = {x in NN | x != n+1}$
Prendo i primi $ninNN$ e scrivo:
$A_0 = {x in NN | x!=1}$
$A_1 = {x in NN | x!=2}$
$A_2 = {x in NN | x!=3}$
$A_3 = {x in NN | x!=4}$
$A_4 = {x in NN | x!=5}$
$A_5 = {x in NN | x!=6}$
e così via....
Quindi l'unione di tutti gli $A_n$ con $n in NN$ sarebbe l'insieme di tutti gli $x$. Giusto Quindi scriverò così:
$uuu_{n in NN} A_n = NN$
Mentre l'intersezione indica che bisogna trovare elementi in comune tra tutti gli insiemi $A_n$ quindi scrivo:
$nnn_{n in NN} A_n = {x in NN | x=0}$, perchè l'elemento $0$ compare in tutti gli insiemi $A_n$ Giusto

Svolgimento 1.2
$B_n = {x in NN | x != 2n}$
Anche qui per capire di cosa si tratta prendo i primi $n in NN$ e scrivo:
$B_0 = {x in NN | x != 0}$
$B_1 = {x in NN | x != 2}$
$B_2 = {x in NN | x != 4}$
$B_3 = {x in NN | x != 6}$
$B_4 = {x in NN | x != 8}$
e così via...
Quindi l'unione di tutti gli insiemi $B_n$ è $uuu_{n in NN} B_n = NN$
Mentre l'intersezione è $nnn_{n in NN} B_n = {x in NN | x=2k+1}$ cioè tutti gli elementi dispari $in NN$

Svolgimento 1.3
$C_n = {x in NN | x != 2n+3}$
Abbiamo:
$C_0 = {x in NN | x != 3}$
$C_1 = {x in NN | x != 5}$
$C_2 = {x in NN | x != 7}$
$C_3 = {x in NN | x != 9}$
$C_4 = {x in NN | x != 11}$
e così via....
quindi l'unione rappresenta l'insieme $uuu_{n in NN} C_n = NN$
mentre l'intersezione di tutti gli insiemi $C_n$ corrisponde all'insieme di tutti gli $x$ sotto la forma $x=2k$ ed $x=1$. Quindi scriverò: $nnn_{n in NN} C_n = {x in NN | x=1, x=2k}$

Durante lo svolgimento ho avuto parecchi dubbi specialmente sull'intersezione. Inizialmente ho invertito il risultato dell'unione con quello dell'intersezione scrivendo che l'intersezione, in tutti i casi equivaleva a $\emptyset$, poi ho cambiato versione. Spero sia corretta quest'ultima revisione che ho fatto all'esercizio. Aspetto vostre correzioni e suggerimenti.

[onlyReferee]

Ciao darkfog
Direi che lo svolgimento finale che hai postato ora non fa una piega .

[raffa071292]

Ahhh! che bello! La soluzione l'ho trovata mentre postavo il thread. Adesso ho capito il meccanismo, mi eserciterò di più con le famiglie di insiemi così evito di fare figuracce agli esami ! Grazie onlyReferee !