Unione e intersezione su "famiglie" di insiemi misti...
Salve a tutti,
perdonatemi se per molti il post è banale, lo sembrava pure per me sino a quando mi sono bloccato, perdonatemi anche se il titolo è errato ma non saprei come scrivere (ho cercato di essere più coerente possibile con il post
) ..sappiamo tutti che in determinati contesti tutto è insieme, ma in altri purtroppo non è così, o lo si vuole per convenzione (che parola brutta in matematica).. ed è in questi altri in cui mi vengo a trovare... premettiamo alcune definizioni, sapendo, secondo quanto dice/fa osservare il Pagani Salsa che useremo le lettere latine maiuscole \( A,B,...,Z \) se vogliamo riferirci solo ad insiemi, useremo invece le lettere latine minuscole se vogliamo riferirci non solo ad insiemi \( a,b,...,z \)...
ora ovviamente se tutti gli elementi di \( A \) fossero insiemi non ho problemi ad applicarla, stessa cosa dico se tutti gli elementi di \( A \) non sono insiemi (in questo caso la definizione non è da praticare, perchè? per le motivazione stesse che dirò di seguito)... ma il dubbio mi sorge quando non tutti gli elementi di \( A \) sono insiemi, come si comportano i quantificatori? Ovvero supponiamo di avere \( A:=\{\{1\},2,8,\{1,2,3\},0,\{4,1\}\} \).. come mi dovrei comportare in questo caso? Io direi che \( \bigcup A:=\{1,2,3,4\} \) e \( \bigcap A:=\{1\}\)... penso sia così perchè penso che i quantificatori agiscano solo sugli insiemi, e meno male se fossero lettere minuscole non avrei potuto applicare la definizione o meglio l'avrei potuta applicare solo per l'unione e non l'intersezione (ed ecco qui anche la risposta al mio precedente "perchè?"), ma vorrei almeno un parere/conferma! Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
perdonatemi se per molti il post è banale, lo sembrava pure per me sino a quando mi sono bloccato, perdonatemi anche se il titolo è errato ma non saprei come scrivere (ho cercato di essere più coerente possibile con il post
) ..sappiamo tutti che in determinati contesti tutto è insieme, ma in altri purtroppo non è così, o lo si vuole per convenzione (che parola brutta in matematica).. ed è in questi altri in cui mi vengo a trovare... premettiamo alcune definizioni, sapendo, secondo quanto dice/fa osservare il Pagani Salsa che useremo le lettere latine maiuscole \( A,B,...,Z \) se vogliamo riferirci solo ad insiemi, useremo invece le lettere latine minuscole se vogliamo riferirci non solo ad insiemi \( a,b,...,z \)...Siano dati \( A \) un insiemi, dicesi unione degli elementi di \( A \), ed indicasi per brevità con la scrittura \( \bigcup A \), l'insieme \( \{x|\exists B \in A(x \in B) \} \)
Siano dati \( A \) un insiemi, dicesi intersezione degli elementi di \( A \), ed indicasi per brevità con la scrittura \( \bigcap A \), l'insieme \( \{x|\forall B \in A(x \in B) \} \)
ora ovviamente se tutti gli elementi di \( A \) fossero insiemi non ho problemi ad applicarla, stessa cosa dico se tutti gli elementi di \( A \) non sono insiemi (in questo caso la definizione non è da praticare, perchè? per le motivazione stesse che dirò di seguito)... ma il dubbio mi sorge quando non tutti gli elementi di \( A \) sono insiemi, come si comportano i quantificatori? Ovvero supponiamo di avere \( A:=\{\{1\},2,8,\{1,2,3\},0,\{4,1\}\} \).. come mi dovrei comportare in questo caso? Io direi che \( \bigcup A:=\{1,2,3,4\} \) e \( \bigcap A:=\{1\}\)... penso sia così perchè penso che i quantificatori agiscano solo sugli insiemi, e meno male se fossero lettere minuscole non avrei potuto applicare la definizione o meglio l'avrei potuta applicare solo per l'unione e non l'intersezione (ed ecco qui anche la risposta al mio precedente "perchè?"), ma vorrei almeno un parere/conferma! Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Risposte
0, 2, 8 sono anche loro insiemi.
Ciao killing_buddha,
in fondo in fondo immaginavo una risposta del genere ... ammetto che sono andato a prendere un esempio un pò particolare.. è vero \( 0,2,8 \) sono anch'essi insiemi.... forse è meglio che cambio esempio 
, ovvero:
\( A:=\{\{1\},a,b,\{1,2,3\},c,\{4,1\}\} \).. Io direi che \( \bigcup A:=\{1,2,3,4\} \) e \( \bigcap A:=\{1\} \)...
Grazie della risposta, aspetto ulteriori chiarimenti!!
Saluti
"killing_buddha":
0, 2, 8 sono anche loro insiemi.
in fondo in fondo immaginavo una risposta del genere
... ammetto che sono andato a prendere un esempio un pò particolare.. è vero \( 0,2,8 \) sono anch'essi insiemi.... forse è meglio che cambio esempio , ovvero:\( A:=\{\{1\},a,b,\{1,2,3\},c,\{4,1\}\} \).. Io direi che \( \bigcup A:=\{1,2,3,4\} \) e \( \bigcap A:=\{1\} \)...
Grazie della risposta, aspetto ulteriori chiarimenti!!
Saluti
Quello di prima e' un esempio vuoto; questo e' un sofisma 
Qual e' la fondazione che adotti? Dalla decisione di quale teoria degli insiemi stai adottando possiamo desumere se esiste o non una distinzione tra elementi e insiemi; d'altra parte io non conosco altra assiomatica che quella di Tarski-Grothendieck, e passare alle classi (se sono la fondazione adeguata) per definire l'unione mi sembra eccessivo.
Davvero ti serve andare cosi' a fondo nella teoria degli insiemi per i tuoi scopi?
Qual e' la fondazione che adotti? Dalla decisione di quale teoria degli insiemi stai adottando possiamo desumere se esiste o non una distinzione tra elementi e insiemi; d'altra parte io non conosco altra assiomatica che quella di Tarski-Grothendieck, e passare alle classi (se sono la fondazione adeguata) per definire l'unione mi sembra eccessivo.
Davvero ti serve andare cosi' a fondo nella teoria degli insiemi per i tuoi scopi?
Ciao killing_buddha,
quoto pienamente, occorre partire da una qualche "fondazione"... così facendo però ci spingiamo oltre.. si potrebbe pensare agli ur-elementi (link1 e link2)... insomma non saprei proprio.. speravo di afffrontare la questione semplicemente invece mi rendo conto, ed hai ragione, che semplice non è...!!
Saluti!
"killing_buddha":
Quello di prima e' un esempio vuoto; questo e' un sofisma
Qual e' la fondazione che adotti? Dalla decisione di quale teoria degli insiemi stai adottando possiamo desumere se esiste o non una distinzione tra elementi e insiemi; d'altra parte io non conosco altra assiomatica che quella di Tarski-Grothendieck, e passare alle classi (se sono la fondazione adeguata) per definire l'unione mi sembra eccessivo.
Davvero ti serve andare cosi' a fondo nella teoria degli insiemi per i tuoi scopi?
quoto pienamente, occorre partire da una qualche "fondazione"... così facendo però ci spingiamo oltre.. si potrebbe pensare agli ur-elementi (link1 e link2)... insomma non saprei proprio.. speravo di afffrontare la questione semplicemente invece mi rendo conto, ed hai ragione, che semplice non è...!!
Saluti!
@killing_buddha,
penso di aver trovato ciò che fa per me, tempo fa avevo aperto un post proprio in merito agli ur-elements.. :
http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fr ... relementen
mi sembra di capire che l'assioma di unione vuole esplicitamente che siano insiemi i suoi elementi!!
Spero di non aver capito male il tedesco..
penso di aver trovato ciò che fa per me, tempo fa avevo aperto un post proprio in merito agli ur-elements.. :
http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fr ... relementen
mi sembra di capire che l'assioma di unione vuole esplicitamente che siano insiemi i suoi elementi!!
Spero di non aver capito male il tedesco..
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