Unione e intersezione di famiglie di insiemi

[marcus1121]

Se $S$ è l'insieme dei numeri reali e $T$ l'insieme dei razionali, sia, per

$a in T,A_a={x in S:x>=a)$

Trovare $uu_(a in T)A_a$

Io ho ragionato così:

se $a=1/2$ per esempio $A_(1/2)->x>=1/2$

se $a=-1200$ per esempio $A_(1200)->x>=-1200$

Dunque $uu_(a in T)A_a=RR$

Penso però che non sia proprio così....aspetto suggerimenti!

[Kashaman]

Ciao, credo che la tua intuizione sia giusta. Ora non resta che provare quella uguaglianza tra insiemi.

Prendiamo $x_0 \in RR$, allora $EE a \in QQ $ tale che $x >= a$.... Concludi tu.

[milos144]

Secondo me si può spiegare così:
$uu_(a in T)A_a sube S=RR$ e
$AA a in Q=T$, si ha $a in A_a$ e quindi $a in uu_(a in T)A_a $

Se va bene come si potrebbe dire in altro modo.

[Kashaman]

Fissato $a \in QQ$ , definiamo l'insieme $R_a={ x \in RR | x>= a}$
Facile rendersi conto che quell'insieme è la semiretta chiusa $[a,+infty)$,con estremo $a$ razionale; altrettanto facile è osservare che al variare di $a$ e prendendo l'unione di queste semirette ricopro tutto $RR$.
Diamone una dimostrazione formale :
Proviamo quindi che $\bigcup R_a = RR$. Questa inclusione $subseteq$ è banale; proviamo l'altra.
Se $x \in RR$ , preso $\dot{a} \in QQ , \dot{a}<=x$ , posso considerare la semiretta $[\dot{a},+infty)$ e ovviamente $x \in [\dot{a},+infty) \subseteq \bigcup R_a$. Come volevasi.

[milos144]

Unione e intersezione di una famiglia di insiemi

Se considero adesso $nn_(a in T)A_a$, per il ragionamento precedentemente fatto, posso affermare che $nn_(a in T)A_a=O/$

Proviamo a dimostrare formalmente l'uguaglianza:

$AAa in T$ si ha $a neg in A_(a+1)$ e quindi $a neg in nn_(a in T)A_a$

Osservazione: se prendiamo due insiemi qualsiasi, per esempio $A_a ^^A_b$ essi non sono disgiunti.

In questo caso come posso dimostrare che $A_a ^^A_b$ non sono disgiunti.

[Gi81]

Non ha senso scrivere $A_a ^^ A_b$. Forse intendevi $A_a nn A_b$.

Per dimostrare che $A_a nn A_b != \emptyset$ basta scrivere $A_a= [a,+oo)$ e $A_b = [b, +oo)$

se $a<= b$ si ha $A_a nn A_b= [b, +oo)= A_b$, mentre se $b
In sintesi, $A_a nn A_b = A_{max{a,b}}$, dunque è certamente non vuoto.
In modo del tutto analogo si dimostra che $A_a uu A_b= A_{min{a,b}}$