Unico sottogrupo ad un determinato ordine implica normale
provare che
SE
1. G è un gruppo finito
2. H sottogruppo di G
3. H è l'unico sottogruppo di ordine $|H|$
ALLORA
H è normale in G
Per la dimostrazione ho provato a supporre che H non sia normale cercando di costruire, grazie a questa negazione, un Sottogruppo diverso da H ma che abbia lo stesso numero di elementi.
Per ora ho trovato che essendo H non normale allora esisteranno $g_0 in G$ e $h_0 in H$ tali che $g_0h_0g_0^-1 !in H$.
Chiamo $K :=$ questo gruppo avrà (per via di come si sviluppano le potenze del generatore) un numero di elementi pari al numero di elementi di $$ che chiamo $H_0$.
Da questo momento in poi mi manca l'idea..sento die ssere abbastanza vicino..consigli??
Riassumendo, dalla mia ho $H_0$ un sottogruppo di H con cardinalità pari ad un altro sottogruppo di G ma con intersezione praticamente vuota perchè nessun elemento di K appartiene ad H. Quindi neanche ad $H_0$
P.S.
Non posso usare i teoremi di Sylow
SE
1. G è un gruppo finito
2. H sottogruppo di G
3. H è l'unico sottogruppo di ordine $|H|$
ALLORA
H è normale in G
Per la dimostrazione ho provato a supporre che H non sia normale cercando di costruire, grazie a questa negazione, un Sottogruppo diverso da H ma che abbia lo stesso numero di elementi.
Per ora ho trovato che essendo H non normale allora esisteranno $g_0 in G$ e $h_0 in H$ tali che $g_0h_0g_0^-1 !in H$.
Chiamo $K :=
Da questo momento in poi mi manca l'idea..sento die ssere abbastanza vicino..consigli??
Riassumendo, dalla mia ho $H_0$ un sottogruppo di H con cardinalità pari ad un altro sottogruppo di G ma con intersezione praticamente vuota perchè nessun elemento di K appartiene ad H. Quindi neanche ad $H_0$
P.S.
Non posso usare i teoremi di Sylow
Risposte
Non vorrei dire sciocchezze ma.. se c'è $h in H$ tale che esiste $g in G$ con $ghg^{-1} !in H$ allora preso il sottogruppo
$gHg^{-1}$ (puoi verificare che effettivamente è sottogruppo) questo ha lo stesso numero di elementi di H ma non coincide con H perchè hanno almeno un elemento diverso, e questo è assurdo per l'ipotesi che H è l'unico sottogruppo di quell'ordine.
$gHg^{-1}$ (puoi verificare che effettivamente è sottogruppo) questo ha lo stesso numero di elementi di H ma non coincide con H perchè hanno almeno un elemento diverso, e questo è assurdo per l'ipotesi che H è l'unico sottogruppo di quell'ordine.
Mmm prima cosa che mi viene in mente, magari sbagliata.
Si ha $|gHg^(-1)|=|H|$ ma poichè per ipotesi l'unico gruppo di ordine $|H|$ è $H$ deve necessariamente essere $gHg^(-1)=H$ da cui la tesi.
Si ha $|gHg^(-1)|=|H|$ ma poichè per ipotesi l'unico gruppo di ordine $|H|$ è $H$ deve necessariamente essere $gHg^(-1)=H$ da cui la tesi.
vi vedo esitare... certo, e' come dite: i coniugati di H hanno lo stesso ordine di H quindi sono uguali ad H. Fine.Non solo, se H e' il solo sottogruppo del suo ordine allora e' caratteristico: e' fissato da ogni automorfismo di G.
eravamo titubanti e pieni di paure perchè ci sembrava troppo facile.
Perfino dopo averlo dimostrato sul foglio di carta.
Il vento è gelido sui picchi dell'astrazione.. ma fa un ***** di freddo pure quaggiù!
Perfino dopo averlo dimostrato sul foglio di carta.
Il vento è gelido sui picchi dell'astrazione.. ma fa un ***** di freddo pure quaggiù!
Cioè ragazzi... mi ero fatto un giro assurdo...
e la strada era praticamente ovvia... costruivo inutilmente il sottogruppo generato dall'elemento di $gHg^-1$
Appena ho letto l'efficace ma semplicissima idea l'ho presa malissimo
Evidentemente tornare ai paradisi dell'Algebra Astratta appena dopo l'esame di Analisi4 non è naturale per il mio cervello...
Mannaggia.
e la strada era praticamente ovvia... costruivo inutilmente il sottogruppo generato dall'elemento di $gHg^-1$
Appena ho letto l'efficace ma semplicissima idea l'ho presa malissimo
Evidentemente tornare ai paradisi dell'Algebra Astratta appena dopo l'esame di Analisi4 non è naturale per il mio cervello...
Mannaggia.
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