Unicità estremo inferiore insieme parzialmente ordinato
Sia $(P,\le)$ un insieme parzialmente ordinato e sia $X \subseteq P$.
Si supponga che esista l'estremo inferiore di X. Si può dimostrare che allora questo è unico?
La via più naturale che mi era venuta in mente era di supporre che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $b$ e di provare a dimostrare che allora $a<=b$ e $b<=a$ (da cui seguirebbe $a=b$) ma non riesco a capire poter fare.
Si supponga che esista l'estremo inferiore di X. Si può dimostrare che allora questo è unico?
La via più naturale che mi era venuta in mente era di supporre che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $b$ e di provare a dimostrare che allora $a<=b$ e $b<=a$ (da cui seguirebbe $a=b$) ma non riesco a capire poter fare.
Risposte
Basta usare la definizione di estremo superiore e la sua proprietà universale. Scrivi qual è e usala.
La struttura d'ordine dove un estremo superiore non è unico è quello di un insieme preordinato, dove cioè la relazione di equivalenza non è antisimmetrica. Ma in quel contesto, tutti gli estremi superiori \(x,x'\) di \(S\subseteq P\) sono a due a due "equivalenti" nel senso che \(x\le x'\le x\), e quindi diventano uguali nella posetal reflection di P.
==
Quello che succede più in dettaglio è questo: supponi che\(x,x'\) siano entrambi degli estremi superiori di uno stesso sottoinsieme \(S\subseteq P\); allora, siccome \(x\in S\), deve essere \(x\le x'\) dato che \(x'\) è un sup di \(S\); del resto, la stessa cosa deve avvenire scambiando i ruoli di \(x'\) e \(x\), perché anche $x$ un sup di \(S\). Allora, per antisimmetria, \(x=x'\).
Il massimo che puoi dire in un insieme preordinato \((P,\preceq)\) è che \(x\le x'\le x\), e da qui non puoi dedurre molto, oltre al fatto che \(x\equiv x'\) nella posetal reflection, cioè nel poset ottenuto dal preset \(P\) quozientando $P$ per la relazione di equivalenza \(\equiv\) definita da \(a\equiv b\iff a\preceq b \preceq a\).
La struttura d'ordine dove un estremo superiore non è unico è quello di un insieme preordinato, dove cioè la relazione di equivalenza non è antisimmetrica. Ma in quel contesto, tutti gli estremi superiori \(x,x'\) di \(S\subseteq P\) sono a due a due "equivalenti" nel senso che \(x\le x'\le x\), e quindi diventano uguali nella posetal reflection di P.
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Quello che succede più in dettaglio è questo: supponi che\(x,x'\) siano entrambi degli estremi superiori di uno stesso sottoinsieme \(S\subseteq P\); allora, siccome \(x\in S\), deve essere \(x\le x'\) dato che \(x'\) è un sup di \(S\); del resto, la stessa cosa deve avvenire scambiando i ruoli di \(x'\) e \(x\), perché anche $x$ un sup di \(S\). Allora, per antisimmetria, \(x=x'\).
Il massimo che puoi dire in un insieme preordinato \((P,\preceq)\) è che \(x\le x'\le x\), e da qui non puoi dedurre molto, oltre al fatto che \(x\equiv x'\) nella posetal reflection, cioè nel poset ottenuto dal preset \(P\) quozientando $P$ per la relazione di equivalenza \(\equiv\) definita da \(a\equiv b\iff a\preceq b \preceq a\).
Sia $(P,\le)$ un insieme parzialmente ordinato e sia $X \subseteq P$.
Suppongo che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $X$.
Per definizione di estremo inferiore si ha che $a \le x$ per ogni $x \in X$ e che se $y \le x$ per ogni $x \in X$ allora $y \le a$.
Analogamente si ha che $b \le x$ per ogni $x \in X$ e che se $y \le x$ per ogni $x \in X$ allora $y \le b$.
Siccome $a \le x$ per ogni $x \in X$ si ha che $a \le b$.
Siccome $b \le x$ per ogni $x \in X$ si ha che $b \le a$.
Siccome la relazione $\le$ è antisimmetrica segue che $a=b$.
Intendevi questo?
Suppongo che sia $a$ che $b$ siano estremi inferiori di $X$.
Per definizione di estremo inferiore si ha che $a \le x$ per ogni $x \in X$ e che se $y \le x$ per ogni $x \in X$ allora $y \le a$.
Analogamente si ha che $b \le x$ per ogni $x \in X$ e che se $y \le x$ per ogni $x \in X$ allora $y \le b$.
Siccome $a \le x$ per ogni $x \in X$ si ha che $a \le b$.
Siccome $b \le x$ per ogni $x \in X$ si ha che $b \le a$.
Siccome la relazione $\le$ è antisimmetrica segue che $a=b$.
Intendevi questo?
Ah, sì, era mattina presto e te l'ho fatto per gli estremi superiori, non inferiori, ma l'idea è identica.
Perfetto, grazie mille 
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