Unicità della funzione somma.
L'amico Gugo82 mi ha dato delle dispense in cui viene illustrata la costruzione dei vari insiemi numerici. Dopo avere letto tutto, mi pare cosa buona e giusta iniziare a chiarire alcuni dubbi e completare quanto il prof.re autore della dispsense ha giustamente lasciato come esercizio.
La prima cosa che il prof.re ha lasciato come esercizio è la dimostrazione dell'unicità della funzione addizione.
Premessa. Viene provato che l'unico elemento privo di precedente è lo $0$. Viene, come consuetudine, definita l'addizione ponendo
$+(m,0)=m$
$+(m,\sigma(n))=\sigma(+(m,n))$
dove $sigma(n)$ è il successore di $n$.
Si prova poi che l'applicazione posta è ben definita su $NN \times NN$ tramite il principio di induzione.
Il prof.re lascia poi come suggerimento per la prova dell'unicità quello dell'uso dell'induzione.
Ecco quello che ho scritto.
Siano $+ : NN times NN to NN$ e $+' : NN times NN to NN$ due funzioni somma. Fissato $m \in NN$, sia $S:={n \in NN : +(m,n)=+'(m,n)}$. Vogliamo provare che $S=NN$. Risulta $n=0 in S$: difatti $+(m,0)=m=+'(m,0)$; sia $n in S$, allora anche $sigma(n) in S$: difatti, per ipotesi induttiva, posto $n=sigma(l)$ si ha $+(m,n)=+(m,sigma(l))=\sigma(+(m,l))=\sigma(+'(m,l))=+'(m,sigma(l))=+'(m,n)$, sicché $+(m,sigma(n))=sigma(+(m,n))=sigma(+'(m,n))=+'(m,sigma(n))$. Per il principio di induzione si ha $S=NN$. $\square$
Va bien?
La prima cosa che il prof.re ha lasciato come esercizio è la dimostrazione dell'unicità della funzione addizione.
Premessa. Viene provato che l'unico elemento privo di precedente è lo $0$. Viene, come consuetudine, definita l'addizione ponendo
$+(m,0)=m$
$+(m,\sigma(n))=\sigma(+(m,n))$
dove $sigma(n)$ è il successore di $n$.
Si prova poi che l'applicazione posta è ben definita su $NN \times NN$ tramite il principio di induzione.
Il prof.re lascia poi come suggerimento per la prova dell'unicità quello dell'uso dell'induzione.
Ecco quello che ho scritto.
Siano $+ : NN times NN to NN$ e $+' : NN times NN to NN$ due funzioni somma. Fissato $m \in NN$, sia $S:={n \in NN : +(m,n)=+'(m,n)}$. Vogliamo provare che $S=NN$. Risulta $n=0 in S$: difatti $+(m,0)=m=+'(m,0)$; sia $n in S$, allora anche $sigma(n) in S$: difatti, per ipotesi induttiva, posto $n=sigma(l)$ si ha $+(m,n)=+(m,sigma(l))=\sigma(+(m,l))=\sigma(+'(m,l))=+'(m,sigma(l))=+'(m,n)$, sicché $+(m,sigma(n))=sigma(+(m,n))=sigma(+'(m,n))=+'(m,sigma(n))$. Per il principio di induzione si ha $S=NN$. $\square$
Va bien?
Risposte
Come dimostrazione è corretta anche se pensavo che dimostrare che fosse ben posta includeva anche che la definizione definisse effettivamente una particolare funzione...
Non ti ho capito.
Insiemisticamente parlando una funzione è un particolare sottoinsieme del prodotto cartesiano $dom(f) \times cod(f)$ tale che per ogni $x\in dom(f)$ esiste un unico $y\in\cod(f)$ tale che la coppia $(x,y)$ stia in $f\subset \dom(f)\times\cod(f)$. In tal senso non ogni sottoinsieme del prodotto cartesiano definisce una funzione, dovresti verificare che la somma si comporta correttamente.
Dovrei verificare che quella roba è effettivamente una funzione, i.e. che per ogni coppia c'è un solo corrispondente? Mi state dicendo questo?
Riporto quello che c'è sulle dispense.
Proposizione 2. Esiste un'unica funzione $s$ che ad ogni coppia ordinata di elementi di $NN$ associa un unico elemento di $NN$ dotata della seguente proprietà
$forall n,m in NN, s((n,0))=n$ e $ s(n,sigma(m))=sigma(s(n,m))$.
Dim. Ammesso il principio di induzione, si vede subito che una tale funzione esiste. Fissato infatti un qualunque $n$ di $NN$ e detto $M_n$ l'insieme degli $m \in NN$ per i quali è definito il simbolo $s(n,m)$, è ovvio che $0 in M_n$ e che, se $m in M_n$, anche $sigma(m) in M_n$; quindi $M_n = NN$.
Sempre avvelendosi del principio di induzione il lettore può facilmente verrificare l'unicità della funzione $s$.
Questo è quanto presente sulle dispense. Nel mio primo post ho dato la prova dell'unicità. Sulle dispense c'è la prova che la funzione è definita su tutto $NN times NN$, cosa manca? La prova che per ogni coppia l'immagine è unica?
Riporto quello che c'è sulle dispense.
Proposizione 2. Esiste un'unica funzione $s$ che ad ogni coppia ordinata di elementi di $NN$ associa un unico elemento di $NN$ dotata della seguente proprietà
$forall n,m in NN, s((n,0))=n$ e $ s(n,sigma(m))=sigma(s(n,m))$.
Dim. Ammesso il principio di induzione, si vede subito che una tale funzione esiste. Fissato infatti un qualunque $n$ di $NN$ e detto $M_n$ l'insieme degli $m \in NN$ per i quali è definito il simbolo $s(n,m)$, è ovvio che $0 in M_n$ e che, se $m in M_n$, anche $sigma(m) in M_n$; quindi $M_n = NN$.
Sempre avvelendosi del principio di induzione il lettore può facilmente verrificare l'unicità della funzione $s$.
Questo è quanto presente sulle dispense. Nel mio primo post ho dato la prova dell'unicità. Sulle dispense c'è la prova che la funzione è definita su tutto $NN times NN$, cosa manca? La prova che per ogni coppia l'immagine è unica?
Quello non ha dimostrato che è una funzione ma solamente che è definita su ogni coppia. Quindi per concludere ti basta dimostrare che per ogni coppia c'è un solo valore ammissibile.
Ti scrivo la dimostrazione di questa cosa:
Fissata $m$ abbiamo che $+(m, 0) = m$ e non c'è nessun altro "risultato" ammissibile.
Supponiamo che per una certa $n$ il risultato ammissibile sia unico e dimostriamo che è unico anche per $\sigma(n)$. Dato che $+(m,sigma(n))=sigma(+(m,n))$ e il risultato di $+(m,n)$ è unico allora, dall'unicità del successivo, è unico anche il risultato di $+(m,sigma(n))$. E quindi per induzione la funzione somma è ben definita.
Fissata $m$ abbiamo che $+(m, 0) = m$ e non c'è nessun altro "risultato" ammissibile.
Supponiamo che per una certa $n$ il risultato ammissibile sia unico e dimostriamo che è unico anche per $\sigma(n)$. Dato che $+(m,sigma(n))=sigma(+(m,n))$ e il risultato di $+(m,n)$ è unico allora, dall'unicità del successivo, è unico anche il risultato di $+(m,sigma(n))$. E quindi per induzione la funzione somma è ben definita.
OK. Non avevo notato questo particolare. Grazie mille.
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